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​$ A$​
证明：​$(1) $​∵​$ $​四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$ BO=DO=\frac {1}{2}BD$​，​$AD// BC$​。
又
∵​$ $​点​$E$​是​$CD$​的中点，
∴​$ EO$​是​$△BCD$​的中位线，
∴​$ OE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}AD$​，​$OE// BC$​。
∵​$ EF// BD$​，​$OE// BC$​，
∴​$ $​四边形​$OEFB$​是平行四边形。
∵​$ AD⊥ BD$​，即​$∠ ADB=90°$​，​$AD// BC$​，
∴​$ ∠ CBD=∠ ADB=90°$​，
∴​$ $​四边形​$OEFB$​是矩形。
​$ (2)$​∵​$ OE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}AD$​，​$AD=4$​，
∴​$ OE=2$​。
∵​$ $​四边形​$ABCD$​是平行四边形，​$DC=6$​，
∴​$ AB=DC=6$​。
​$ $​在​$Rt△ABD$​中，​$AB=6$​，​$AD=4$​，​$∠ ADB=90°$​，
∴​$ BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=\sqrt {6^2-4^2}=2\sqrt {5}$​，
∴​$ BO=\frac {1}{2}BD=\sqrt {5}$​，
∴​$ $​四边形​$OEFB$​的面积是​$OE· OB=2×\sqrt {5}=2\sqrt {5}$​。
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
证明：​$(1)$​∵​$ $​四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$ AB=BC=CD=DA$​，
​$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°$​，
∴​$ ∠ BCP+∠ DCE=90°$​。
∵​$ BH⊥ CE$​于点​$P$​，
∴​$ ∠ BPC=90°$​，
∴​$ ∠ BCP+∠ CBH=90°$​，
∴​$ ∠ DCE=∠ CBH$​，
∴​$ △ DCE≌△ CBH(\mathrm {ASA})$​，
∴​$ CE=BH$​。
∵​$ $​四边形​$CEFG $​是正方形，
∴​$ CE=EF=FG=GC$​，
​$∠ CEF=∠ EFG=∠ FGC=∠ GCE=90°$​，
∴​$ EF=BH$​，​$∠ CEF=∠ CPH=90°$​，
∴​$ EF=BH$​，​$EF// BH$​，
∴​$ $​四边形​$BEFH$​是平行四边形。
​$ A$​
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