证明：$(1)$∵$ DE$绕点$D$逆时针旋转$90°$得到$DF$，
∴$ ∠ EDF=90°$，$DE=DF$。
∵$ BD⊥ AD$，
∴$ ∠ ADB=90°$，
∴$ ∠ EDF=∠ ADB$，
∴$ ∠ EDF-∠ BDE=∠ ADB-∠ BDE$，
即$∠ ADE=∠ BDF$。
∵$ AD=BD$，
∴$ △ ADE≌△ BDF(\mathrm {SAS})$，
∴$ BF=AE$。
$ (2)$证明：
如图①，设直线$BF_{交}AC$于点$G$，
$ $由$(1)$得$△ ADE≌△ BDF$，
∴$ ∠ DBF=∠ DAE$。
∵$ ∠ BOG=∠ AOD$，
∴$ ∠ BGO=∠ ADB=90°$，
∴$ BF⊥ AC$。
$ (3)$四边形$DEMF $的面积不变。
$ $连接$DM$，作$DH⊥ DM$，交$AC$于点$H$，
作$DQ⊥ AC$于点$Q$，如图②，
∴$ ∠ HDM=∠ EDF=90°$，$DE=DF$，
∴$ ∠ HDE=∠ MDF=90°-∠ EDM$。
$ $由$ (2)$可知，$BF⊥ AC$，
∴$ ∠ EMF=90°$，
∴$ ∠ EMF+∠ EDF=180°$，
$ $在四边形$DEMF_{中}$，
$∠ F+∠ DEM=360°-(∠ EMF+∠ EDF)$
$=360°-180°=180°$。
∵$ ∠ DEH+∠ DEM=180°$，
∴$ ∠ DEH=∠ F$。
∵$ DE=DF$，
∴$ △ DEH≌△ DFM(\mathrm {ASA})$，
∴$ S_{四边形DEMF}=S_{△ DHM}$。
∵$ DH=DM$，
∴$ QH=QM$，
∴$ DQ=\frac {1}{2}HM$。
∵$ $四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$ OD=OB=\frac {1}{2}BD=\sqrt {5}$。
∵$ ∠ ADB=90°$，
∴$ OA=\sqrt {AD^2+OD^2}=\sqrt {(2\sqrt {5})^2+(\sqrt {5})^2}=5$。
∵$ S_{△ AOD}=\frac {1}{2}OA· DQ=\frac {1}{2}AD· OD$，
∴$ 5DQ=2\sqrt {5}×\sqrt {5}$，
∴$ DQ=2$，
∴$ S_{△ DHM}=\frac {1}{2}HM· DQ=DQ^2=4$，
∴$ $四边形$DEMF $的面积为$4$，不发生变化。
