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$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
解：​$(3)$​原式​$=[\frac {\sqrt {3}-1}{(\sqrt {3}+1)(\sqrt {3}-1)}+\frac {\sqrt {5}-\sqrt {3}}{(\sqrt {5}+\sqrt {3})(\sqrt {5}-\sqrt {3})}$​
​$+\frac {\sqrt {7}-\sqrt {5}}{(\sqrt {7}+\sqrt {5})(\sqrt {7}-\sqrt {5})}+\dots +\frac {\sqrt {2025}-\sqrt {2023}}{(\sqrt {2025}+\sqrt {2023})(\sqrt {2025}-\sqrt {2023})}]$​
​$×(1+\sqrt {2025})$​
​$ =(\frac {\sqrt {3}-1}{2}+\frac {\sqrt {5}-\sqrt {3}}{2}+\frac {\sqrt {7}-\sqrt {5}}{2}+\dots +\frac {\sqrt {2025}-\sqrt {2023}}{2})$​
​$×(\sqrt {2025}+1)$​
​$ =\frac {1}{2}(\sqrt {3}-1+\sqrt {5}-\sqrt {3}+\sqrt {7}-\sqrt {5}+\dots +\sqrt {2025}$​
​$-\sqrt {2023})×(\sqrt {2025}+1)$​
​$ =\frac {1}{2}(\sqrt {2025}-1)×(\sqrt {2025}+1)$​
​$ =\frac {1}{2}×(2025-1)=1012$​
$(\frac{4}{3},4)$
解：​$ (2)$​∵​$(5-t，5+t)$​是使​$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=1$​成立的
“倒立数对”，
∴​$\frac {1}{5-t}+\frac {1}{5+t}=1$​，
通分得：​$\frac {(5+t)+(5-t)}{(5-t)(5+t)}=1$​，即​$\frac {10}{25-t^2}=1$​，
∴​$25-t^2=10$​，​$t^2=15$​，
​$ $​解得​$t=\pm \sqrt {15}$​，
经检验，​$t=\pm \sqrt {15}$​是原方程的根，
∴​$t=\pm \sqrt {15}$​。
​$ (3)$​∵​$(m，n)$​是使​$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=1$​成立的​$“$​倒立数对​$”$​，
∴​$\frac {1}{m}+\frac {1}{n}=1$​，即​$m+n=mn$​。
∵​$a=b+m$​，​$b=c+n$​，
∴​$m=a-b$​，​$n=b-c$​，​$a-c=m+n$​，
​$ $​则​$\frac {12(a-b)(b-c)}{4(a-c)^2}=\frac {12mn}{4(m+n)^2}=\frac {3mn}{(\mathrm {mn})^2}=\frac {3}{m+n}$​。
∵该代数式为整数，
∴​$m+n$​是​$3$​的约数，
即​$m+n=\pm 1$​或​$m+n=\pm 3$​。
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