解：$ (1)①$∵四边形$ABCD$为矩形，
∴$AB=CD=BG$，$∠ G=∠ C=∠ A=90°$。
∵$∠ BHG=∠ DHC$，
∴$△ BHG≌△ DHC(\mathrm {AAS})$，
∴$CH=GH$。
$ $设$CH=GH=x$，
∵$AB=3$，$BC=4$，
∴$BG=3$，$BH=4-x$。
∵$BG^2+GH^2=BH^2$，
即$3^2+x^2=(4-x)^2$，解得$x=\frac {7}{8}$，
∴$CH=\frac {7}{8}$。
②如图，连接$BE$，过点$E$作$EK⊥ BC$，
由折叠可得$BF=DF$，$∠ BFE=∠ DFE$。
∵$EF=EF$，
∴$△ BFE≌△ DFE(\mathrm {SAS})$，
∴$BE=ED$。
$ $由折叠可得$AB=DG$，
∴$Rt△ ABE≌Rt△ GDE(\mathrm {HL})$，
由①同理可得，$AE=\frac {7}{8}=BK$，
设$BF=DF=y$，则$CF=4-y$。
∵$(4-y)^2+3^2=y^2$，
解得$y=\frac {25}{8}$，
∴$BF=\frac {25}{8}$，
∴$KF=BF-BK=\frac {9}{4}$。
∵$EK=AB=3$，
∴$EF=\sqrt {EK^2+KF^2}=\frac {15}{4}$。
$ (2)$连接$EH$，
∵$DH=2CH$，点$E$为$AD$的中点，
设$CH=x$，$DE=y$，
∴$DH=2x$，$AD=2y$，
∴$EH^2=y^2+4x^2$。
$ $由折叠性质可得$BG=AB=CD=3x$，
$∠ BGE=∠ A=90°$，
∴$∠ EGH=90°$，
∴$GH=\sqrt {EH^2-EG^2}=2x$，
∴$BH=5x$，
∴$BC=\sqrt {BH^2-CH^2}=2\sqrt {6}x=2y$，
∴$\frac {AD}{AB}=\frac {2y}{3x}=\frac {2\sqrt {6}}{3}$
