解：$(1)①$四边形$A'BCD'$是平行四边形。理由如下：
∵纸片$△ ADC$沿剪痕$AC$的方向平移得到$△ A'D'C'$，
∴$A'D'=BC$，$A'D'// BC$，
∴四边形$A'BCD'$是平行四边形。
②∵四边形$A'BCD'$是平行四边形，
∴$A'B=D'C$，
∴$A'B+D'B=D'C+D'B$，
如图①，作点$C$关于$DD'$的对称点$C''$，
连接$BC''$，$DC''$，
当$B$，$D'$，$C''$三点共线时，
$A'B+D'B=D'C+D'B=D'C''+D'B$有最小值，
此时$A'B+D'B$的最小值$=BC''$，
∵$DC// D'C'$，$DC=D'C'$，
∴四边形$DCC'D'$是平行四边形，
∴$∠ D'DC=∠ C'=45°$。
∵$C$关于$DD'$的对称点$C''$，
∴$∠ D'DC''=∠ D'DC=45°$，$DC''=DC$，
∴$△ DCC''$是等腰直角三角形，且$A$，$D$，$C''$三点
共线，
∴在直角$△ ABC''$中，
$BC''=\sqrt {AB^2+AC''^2}=\sqrt {2^2+(2+2)^2}$
$=2\sqrt {5}$，
∴$A'B+D'B$的最小值为$2\sqrt {5}$。
$ (2)$如图$②$所示，
∵四边形$A'BCD'$是平行四边形，
∴$A'B=D'C$，
∴$A'B+D'B=D'C+D'B$，
$ $作点$C$关于$DD'$的对称点$C''$，连接$BC''$，$DC''$，
当$B$，$D'$，$C''$三点共线时，
$A'B+D'B=D'C+D'B=D'C''+D'B$有最小值，
此时$A'B+D'B$的最小值$=BC''$，
∵$DC// D'C'$，$DC=D'C'$，
∴四边形$DCC'D'$是平行四边形，
∴$∠ D'DC=∠ C'=30°$。
∵$C$关于$DD'$的对称点$C''$，
∴$∠ D'DC''=∠ D'DC=30°$，$DC''=DC$，
∴$△ DCC''$是等边三角形，且$A$，$D$，$C''$三点共线，
∴在直角$△ ABC''$中，$BC''=\sqrt {AC''^2-AB^2}$
$=\sqrt {4^2-2^2}=2\sqrt {3}$，
∴A'B+D'B的最小值为2\sqrt{3}
