解:【操作判断】
$ (1)②$解答：
由折叠可知$∠ PHQ=∠ DHQ$，
$∠ PQH=∠ DQH$，$QP=QD$，
∴$∠ QHD=\frac {1}{2}∠ PHD=\frac {180°-∠ PHC}{2}=67.5°$，
如图①，连接$QD$，
∵$HI=PI$，$PH⊥ AC$，
即$QC$是$PH$的垂直平分线，
∴$QP=QH$，
∴$QP=QH=QD$，
∴$∠ QHD=∠ QDH=67.5°$，
∴$∠ CQD=180°-∠ QDC-∠ QCD$
$=180°-67.5°-45°=67.5°$，
∴$∠ CQD=∠ QDC$，
∴$CQ=CD=8\ \mathrm {cm}.$
【探究提炼】
$ (2)$解答：
如图②，过点$Q_{作}QE⊥ BC$，垂足为$E$，
过点$Q_{作}QF⊥ CD$，垂足为$F$，连接$QD$，
∴$∠ QEP=∠ QFD=90°.$
∵$AC$是$∠ BCD$的平分线，$∠ BCD=90°$，
∴$QE=QF$，$∠ EQF=90°.$
∵$QP=QD$，
∴$Rt△ QEP≌Rt△ QFD(\mathrm {HL})$，$∠ DPQ=∠ QDP$，
∴$∠ DQF=∠ PQE$，
∴$∠ PQE+∠ PQF=∠ PQF+∠ DQF=90°$，
∴$∠ PQD=90°$，
∴$∠ DPQ=∠ QDP=45°.$
【理解应用】
$ (3)$解答：
$△ MND$的面积最小值为$100\sqrt {3}\mathrm {m^2}.$
理由：如图③，过点$N$作$NE⊥ BC$，垂足为$E$，
过点$N$作$NF⊥ CD$，垂足为$F.$
∵$∠ BCD=60°$，
∴$∠ ENF=360°-∠ NFC-∠ NEC-∠ BCD$
$=120°.$
∵在菱形$ABCD$中，
$AC$是$∠ BCD$的平分线，$∠ BCD=60°$，
∴$NE=NF.$
∵$NM=ND$，
∴$Rt△ NEM≌Rt△ NFD(\mathrm {HL})$，
∴$∠ ENM=∠ FND$，
∴$∠ ENM+∠ MNF=∠ MNF+∠ FND$，
∴$∠ DNM=∠ ENF=120°.$
∵$DN=MN$，
∴$∠ NMD=∠ NDM=\frac {180°-∠ DNM}{2}=30°.$
$ $过点$N$作$NK⊥ DM$，垂足为$K$，设$DM=a$，
则$MK=\frac {1}{2}DM=\frac {a}{2}$，$NK=\frac {1}{2}MN$，
∵$MN^2=NK^2+MK^2$，
即$(2NK)^2=NK^2+(\frac {a}{2})^2$，
∴$NK=\frac {\sqrt {3}}{6}a$，
∴$S_{△ NDM}=\frac {1}{2}MD· NK=\frac {\sqrt {3}}{12}a^2$，
∴当$a$最小时，$△ MND$的面积最小，
∴当$DM⊥ BC$时，$△ MND$的面积最小$.$
∵$DM⊥ BC$，$∠ BCD=60°$，
∴$∠ CDM=30°$，
∴$MC=\frac {1}{2}CD=\frac {1}{2}×40=20(\mathrm {m})$，
∴$DM=\sqrt {CD^2-CM^2}=\sqrt {40^2-20^2}=20\sqrt {3}(\mathrm {m})$，
即$a=20\sqrt {3}$，
$ S_{△ NDM}=\frac {\sqrt {3}}{12}a^2=\frac {\sqrt {3}}{12}×(20\sqrt {3})^2=100\sqrt {3}(\mathrm {m^2})$，
∴$S_{△ NDM}$的最小值为$100\sqrt {3}\mathrm {m^2}.$
