第167页

信息发布者：
证明:【建立模型】
​$ (1)$​∵​$BM$​绕点​$B$​逆时针旋转​$60°$​得到​$BN$​，
∴​$BM=BN$​，​$∠ MBN=60°.$​
∵​$△ ABC$​为等边三角形，
∴​$CB=AB$​，​$∠ CBA=60°.$​
∵​$∠ CBA=∠ MBN$​，
∴​$∠ CBA-∠ ABM=∠ MBN-∠ ABM$​，
∴​$∠ CBM=∠ ABN$​，
​$ $​在​$△ CBM$​和​$△ ABN$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BM}=BN，\\∠ CBM=∠ ABN， \\CB=AB， \end {cases}$​
∴​$△ CBM≌△ ABN(\mathrm {SAS})$​，
∴​$MC=NA.$​
【类比探究】
​$ (2)$​如图​$①$​，过点​$B$​分别作​$BF⊥ CE$​于点​$F$​，

​$BG⊥ AN$​于点​$G.$​
∵​$BM$​绕点​$B$​逆时针旋转​$90°$​得到​$BN$​，
∴​$BM=BN$​，​$∠ MBN=90°.$​
∵四边形​$ABCD$​为正方形，
∴​$CB=AB$​，​$∠ CBA=90°.$​
∵​$∠ CBA=∠ MBN$​，
∴​$∠ CBA-∠ ABM=∠ MBN-∠ ABM$​，
∴​$∠ CBM=∠ ABN.$​
​$ $​在​$△ CBM$​和​$△ ABN$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BM}=BN， \\∠ CBM=∠ ABN，\\CB=AB， \end {cases}$​
∴​$△ CBM≌△ ABN(\mathrm {SAS})$​，
∴​$∠ CMB=∠ ANB.$​
∵​$∠ BFM=∠ BGN$​，​$BM=BN$​，
∴​$△ BFM≌△ BGN(\mathrm {AAS})$​，
∴​$FM=GN$​，​$BF=BG$​，​$∠ FBM=∠ GBN$​，
∴​$∠ FBM+∠ MBG=∠ GBN+∠ MBG$​，
∴​$∠ FBG=∠ MBN=90°.$​
∵​$∠ FBG=∠ BFE=∠ BGE=90°$​，
∴四边形​$GBFE$​为矩形​$.$​
∵​$BF=BG$​，∴矩形​$GBFE$​为正方形，
∴​$EF=EG$​，
∴​$EM+EN=EM+EG+GN=EM+EG+FM=2EG.$​
∵四边形​$GBFE$​为正方形，
∴​$EG=\frac {\sqrt {2}}{2}EB$​，
∴​$EM+EN=\sqrt {2}EB.$​
【拓展延伸】
​$ (3)\sqrt {7}$​
$△ EAG$
$1$
证明:【探究与证明】
​$ (2)②$​如图​$①$​，
由题意得，​$E$​，​$F$​，​$G$​，​$H$​分别是​$AB$​，​$BC$​，
​$CD$​，​$DA$​的中点，
​$ $​操作是将四边形​$EBFO$​绕点​$E$​旋转​$180°$​得到四
边形​$EAQL$​，将四边形​$OHDG_{绕点}H$​旋转​$180°$​
得到四边形​$JHAP$​，将四边形​$OGCF $​放在左上
方空出部分，
​$ $​则​$AQ=BF=CF$​，​$AP=DG=CG$​，
​$∠ BFO=∠ AQL.$​
∵​$∠ DAB+∠ B+∠ C+∠ D=360°$​，
​$∠ QAE=∠ B$​，​$∠ PAH=∠ D$​，
​$ ∠ DAB+∠ QAE+∠ PAH+∠ PAQ=360°$​，
∴​$∠ PAQ=∠ C.$​
∵​$∠ BFO+∠ CFO=180°$​，
∴​$∠ AQL+∠ AQK=180°$​，
∴​$K$​，​$Q$​，​$L $​三点共线，
同理​$K$​，​$P$​，​$J$​三点共线，
由操作得，​$∠ 2=∠ L$​，​$∠ 3=∠ J.$​
∵​$∠ 1+∠ 2=180°$​，​$∠ 1+∠ 3=180°$​，
∴​$∠ 1+∠ L=180°$​，​$∠ 1+∠ J=180°$​，
∴​$OJ// KL$​，​$OL// KJ$​，
∴四边形​$OJKL $​为平行四边形​$.$​
​$ 2. 【$​实践与应用​$】$​
​$ (3)$​解答：
能.操作过程：如图②，取​$AB$​，​$BC$​，​$CD$​，​$DA$​
的中点​$E$​，​$H$​，​$G$​，​$F$​，连接​$FH$​，过点​$E$​，点​$G $​
分别作​$EM⊥ FH$​，​$GN⊥ FH$​，垂足为点​$M$​，​$N$​，
​$ $​将四边形​$EBHM$​绕点​$E$​旋转​$180°$​至四边形
​$EAH'M'$​，
将四边形​$FDGN$​绕点​$F_{旋转}180°$​至四边形
​$FAG'N'$​，
将四边形​$NGCH$​放置左上方空出部分，
使得点​$C$​与点​$A$​重合，​$CG $​与​$AG'$​重合，​$CH$​与
​$AH'$​重合，点​$N$​的对应点为点​$N''$​，最终拼接成
矩形​$MM'N''N'.$​
上一页 下一页