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解: ∵$2^{a} · 5^{b}=10=2 × 5，$

∴$2^{a-1} · 5^{b-1}=1，$

∴$(2^{a-1} · 5^{b-1})^{d-1}=1^{d-1}. ①$

同理可证$ (2^{c-1} · 5^{d-1})^{b-1}=1^{b-1}. ②$

由$①②$两式得$ 2^{(a-1)(d-1)} · 5^{(b-1)(d-1)}=2^{(c-1)(b-1)} · 5^{(d-1)(b-1)}$，

即$ 2^{(a-1)(d-1)}=2^{(c-1)(b-1)}，$

∴$(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).$