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第8页

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$(2a+b)(a+b)=2a^2+3ab+b^2$

$(2)$解$：$根据正方形的面积计算方法得$ 9a^2+12ab+4b^2=(3a+2b)^2，$

∴大正方形的面积为$ (3a+2b)^2$

∴大正方形的边长为$ 3a+2b$

$(3)$解$：①$设$ BC=x$

根据题意$，$得$ S_1=b(x-3a)，S_2=2a(x-b)$

$2S_2-3S_1=4a(x-b)-3b(x-3a)=(4a-3b)x+5ab$

$②$当$ 4a-3b=0$时$，2S_2-3S_1 $不变$，$

即$ a $与$ b$满足的等量关系为$ 4a=3b$