解：将①分别代入②，③，并联立，得
$\begin{cases}2x+x+1+z=1,\\x-2(x+1)+z=-6,\end{cases}$
整理，得
$\begin{cases}3x+z=0,\\-x+z=-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1,\\z=-3.\end{cases}$
将$x=1$代入①，得$y=2.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=2,\\z=-3.\end{cases}$
解：由①可令$x=2k，$$y=3k，$$z=4k，$代入②，得$2k-3k+4k=6，$解得$k=2，$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4,\\y=6,\\z=8.\end{cases}$
解：②+③，得$3x=21，$解得$x=7，$代入③，得$z=-8.$
把$x=7$代入①，得$y=0，$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=7,\\y=0,\\z=-8.\end{cases}$
解：①$-$③，得$3z=18，$解得$z=6.$ 把$z=6$代入②，得$y=4.$ ①$-$②，得$x=3.$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=4,\\z=6.\end{cases}$
解：②+③，得$2x+y=8，$④
由①④联立，得$\begin{cases}x-y=1,\\2x+y=8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3,\\y=2,\end{cases}$
代入②，得$3+6+z=10，$解得$z=1，$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=2,\\z=1.\end{cases}$
解：②$×2-$①，得$x+3z=8，$④
③$-$②，得$x-z=4，$⑤
由④⑤联立，得$\begin{cases}x+3z=8,\\x-z=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=5,\\z=1,\end{cases}$
代入③，得$10+y+1=9，$解得$y=-2，$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5,\\y=-2,\\z=1.\end{cases}$
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