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$-2$

 解：

 (1) $\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过 $A(a,-1),B(-1,3)$ 两点，

 $\therefore k=-1× 3=a×(-1)，$

 $\therefore k=-3,a=3，$即 $A(3,-1)，$

 $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{3}{x}。$

 $\because$ 一次函数 $y=mx+n$ 的图象经过 $A(3,-1),B(-1,3)$ 两点，

 $\therefore \begin{cases} -1=3m+n \\ 3=-m+n \end{cases}，$

 解得 $\begin{cases} m=-1 \\ n=2 \end{cases}，$

 $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-x+2。$

 (2) $\because$ 直线 $AB:y=-x+2$ 交 $y$ 轴于点 $C，$

 $\therefore C(0,2)，$即 $OC=2，$

 $\therefore S_{\mathrm{四边形}COMN}=S_{△ OMN}+S_{△ OCN}=\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}OC· ON=\frac{1}{2}×3+\frac{1}{2}×2× t = t+\frac{3}{2}。$

 $\because S_{\mathrm{四边形}COMN}＞3，$

 $\therefore t+\frac{3}{2}＞3，$

 解得 $t＞\frac{3}{2}，$

 $\therefore t$ 的取值范围是 $t＞\frac{3}{2}。$

$\frac{1}{2}$