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$4\sqrt{2}$
$4\sqrt{13}$
5
$\frac{36}{5}$
解：连接$ON，$$OB。$
$\because OC⊥ AB，$$\therefore D$为$AB$的中点。
$\because AB=7.2\ \mathrm{m}，$$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}。$
设$OB=OC=ON=r\ \mathrm{m}，$则$OD=(r-2.4)\ \mathrm{m}。$
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2，$
即$r^2=(r-2.4)^2+3.6^2，$解得$r=3.9。$
$\because CD=2.4\ \mathrm{m}，$船舱顶部高出水面$AB\ 2\ \mathrm{m}，$
$\therefore CE=2.4-2=0.4(\mathrm{m})，$
$\therefore OE=3.9-0.4=3.5(\mathrm{m})。$
易知$OC⊥ MN，$$\therefore MN=2EN。$
在$\mathrm{Rt}△ OEN$中，$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}\ (\mathrm{m})。$
$\therefore MN=2EN=2×\sqrt{2.96}\approx3.44(\mathrm{m})。$
$\because 3.44＞3，$
$\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥。

证明：​$(1) $​∵​$AB=AC$​，∴​$\overset {\frown }{AB}=\overset {\frown }{AC}$​。
∵半径​$OE$​，​$OF $​分别与弦​$AB$​，​$AC$​垂直，
∴​$\overset {\frown }{AE}=\frac {1}{2}\overset {\frown }{AB}$​，​$\overset {\frown }{AF}=\frac {1}{2}\overset {\frown }{AC}$​，
∴​$\overset {\frown }{AE}=\overset {\frown }{AF}$​，
∴​$∠ AOE=∠ AOF$​。
​$ (2) $​∵​$AM// OF$​，​$AN// OE$​，
∴四边形​$AMON$​为平行四边形，​$∠ MAO=∠ AOF$​。
∵​$∠ AOE=∠ AOF$​，
∴​$∠ MAO=∠ AOE$​，
∴​$AM=OM$​，
∴​$▱ AMON$​为菱形。
$\frac{25}{3}$
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