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C
①②③④
解：​$(1)$​∵​$ GF $​是​$⊙O$​的切线，
∴​$ DF⊥GF$​，即​$∠DFG=90°$​。
∵​$ DF⊥AB$​，
∴​$ ∠AED=∠DFG=90°$​，
∴​$ AB//GF$​，
∴​$ ∠G=∠BAC=45°$​，
∴​$ $​在​$Rt△DFG_{中}$​，​$∠FDG=90°-45°=45°$​，
∴​$ ∠G=∠FDG$​，
∴​$ FD=FG$​。
​$ (2) $​连接​$OA$​。
∵​$ DF⊥AB$​，​$DF $​过圆心​$O$​，
∴ AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6。
∵​$ ∠AED=90°$​，​$∠BAC=45°$​，
∴​$ $​在​$Rt△AED$​中，​$∠ADE=90°-45°=45°$​，
∴​$ ∠ADE=∠BAC$​，
∴​$ EA=ED=6$​。
∵​$ FG=10$​，
∴​$ FD=FG=10$​，
∴​$ EF=DF-DE=10-6=4$​。
​$ $​设​$OE=x$​，则​$OF=OE+EF=x+4=OA$​。
​$ $​在​$Rt△AOE$​中，​$OA²=AE²+OE²$​，
∴ $(x+4)^2=6^2+x^2，$
解得 $x=\frac{5}{2}，$
∴ OF=x+4=$\frac{13}{2}，$
∴ ⊙O的半径为$\frac{13}{2}。$

解：​$(1) $​连接​$OD$​。
∵​$ OD=OA$​，
∴​$ ∠ODA=∠BAD$​。
∵​$ ∠BAC$​的平分线交​$⊙O$​于点​$D$​，
∴​$ ∠CAD=∠BAD$​，
∴​$ ∠ODA=∠CAD$​，
∴​$ OD//AC$​，
∴​$ ∠ODE+∠E=180°$​。
∵​$ AB$​是​$⊙O$​的直径，
∴​$ ∠ACB=90°$​。
∵​$ DE//BC$​，
∴​$ ∠E=∠ACB=90°$​，
∴​$ ∠ODE=180°-∠E=90°$​，即​$DE⊥OD$​。
∵​$ OD$​是​$⊙O$​的半径，
∴​$ DE$​是​$⊙O$​的切线。
​$ (2) $​连接​$BD$​，设​$OD$​交​$BC$​于点​$F$​。
∵​$ ∠ACB=90°$​，​$∠ACE=180°$​，
∴​$ ∠FCE=90°$​。
∵​$ ∠ODE=∠E=90°$​，
∴​$ $​四边形​$CEDF $​是矩形，
∴ DF=CE=$\sqrt{3}，$∠CFD=90°，即BF⊥OD。
∵​$ OD//AC$​，
∴​$ ∠BOD=∠BAC=60°$​。
∵​$ OD=OB$​，
∴​$ △DOB$​是等边三角形，
∴​$ OB=DB$​，
∴ OD=2DF=2$\sqrt{3}，$即⊙O的半径是$2\sqrt{3}。$
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