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$27°$
$4\sqrt{3}$
$108°$或$36°$

解：
​$ (1) $​∵五边形​$ABCDE$​是正五边形，
∴​$∠ ABC = \frac {(5-2)×180°}{5}=108°$​。
​$ (2) △ AMN$​是正三角形，理由如下：
​$ $​连接​$ON$​，​$NF$​。由作图得​$FN=OF$​。
∵​$OF=ON$​，∴​$FN=OF=ON$​，
∴​$△ FON$​是等边三角形，∴​$∠ NFA=60°$​。
∵​$\overset {\frown }{AN}=\overset {\frown }{AN}$​，∴​$∠ NMA=∠ NFA=60°$​。
​$ $​同理可得​$∠ ANM=60°$​，
​$ $​在​$△ AMN$​中，​$∠ MAN=60°$​，
∴​$∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN$​，
∴​$△ AMN$​是正三角形。
​$ (3) $​由​$ (2)$​得​$△ AMN$​是正三角形，
∴​$∠ AON=2∠ AMN=120°$​，∴​$\overset {\frown }{AN}=120°$​。
∵​$\overset {\frown }{AD}=2\overset {\frown }{AE}=2×\frac {360°}{5}=144°$​，
∴​$\overset {\frown }{DN}=\overset {\frown }{AD}-\overset {\frown }{AN}=24°$​，
∴​$n=\frac {360°}{24°}=15$​。
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