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第82页

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$45°$

72（答案不唯一）

$2+\sqrt{2}$

 证明：

 (1) 在正五边形$ABCDE$中，$AB=BC，$$∠ ABM = ∠ C。$

 在$△ ABM$和$△ BCN$中，

 $\begin{cases} AB = BC, \\ ∠ ABM = ∠ C, \\ BM = CN, \end{cases}$

 $\therefore △ ABM ≌ △ BCN \ (\mathrm{SAS})。$

 (2) $\because △ ABM ≌ △ BCN，$$\therefore ∠ BAM = ∠ CBN。$

 $\because ∠ BAM + ∠ ABP = ∠ APN，$

 $\therefore ∠ APN = ∠ CBN + ∠ ABP = ∠ ABC = \frac{(5-2)×180°}{5}=108°。$