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B
解：连接BD。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°。$
$\because AC=BC，$$OA=OB，$
$\therefore CO⊥ AB，$
$\therefore ∠ BOC=90°。$
$\because \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BE}，$
$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BOC=45°，$
$\therefore ∠ ADE=∠ ADB+∠ BDE=90°+45°=135°。$

C
$67.5°$
解：​$(1) $​连接​$OD$​，​$OA$​，过点​$O$​作​$OH⊥ AB$​于点​$H$​。
∵​$△ ABC$​为等腰三角形，​$O$​是底边​$BC$​的中点，
∴​$AO⊥ BC$​，​$AO$​平分​$∠ BAC$​。
∵​$AC$​与半圆​$O$​相切于点​$D$​，
∴​$OD⊥ AC$​。
∵​$OH⊥ AB$​，
∴​$OH=OD$​，
∴​$AB$​与半圆​$O$​相切。
​$ (2) $​设半圆​$O$​的半径为​$r$​，则​$OD=OF=r$​。
​$ $​由​$ (1)$​知，​$OD⊥ AC$​，
∴在​$Rt△ OCD$​中，由勾股定理，得​$OD^2+CD^2=OC^2$​，
​$ $​即​$r^2+4^2=(r+2)^2$​，
​$ $​解得​$r=3$​，
∴​$EF=2r=6$​。
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