解：
(1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$在第二象限内的图象过点$B(-6,1)，$
$\therefore k_1=-6×1=-6，$
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}。$
$\because$ 点$A(a,6)$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$在第二象限内的图象上，
$\therefore 6=-\frac{6}{a}，$解得$a=-1，$
$\therefore$ 点A的坐标为$(-1,6)。$
$\because$ 一次函数的图象经过$A(-1,6)，$$B(-6,1)$两点，
$\therefore \begin{cases}-k_2 + b=6\\-6k_2 + b=1\end{cases}，$解得$\begin{cases}k_2=1\\b=7\end{cases}，$
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=x+7。$
(2) 当$x＜0$时，不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集为$-6≤ x≤-1。$
(3) 把$x=-4$代入$y=x+7，$得$y=-4+7=3，$
$\therefore C(-4,3)。$
$\because CD// x$轴，$\therefore y_D=y_C=3，$
$\therefore x_D=-\frac{6}{3}=-2，$$\therefore D(-2,3)。$
过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E。
$\because B(-6,1)，$$D(-2,3)，$
$\therefore DE=3，$$BF=1，$$EF=-2-(-6)=4。$
$\because S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{\mathrm{梯形}BFED}+S_{△ DEO}，$且$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=3，$
$\therefore S_{△ BOD}=S_{\mathrm{梯形}BFED}=\frac{1}{2}(DE+BF)· EF=\frac{1}{2}×(3+1)×4=8。$
