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$35°$
$\frac{6}{7}$
$2\sqrt{13}$

证明：​$(1) $​∵​$AB=AC$​，∴​$∠ B=∠ C$​。
∵​$OB=OD$​，
∴​$∠ B=∠ ODB$​，
∴​$∠ ODB=∠ C$​，
∴​$OD// AC$​，∴​$∠ AEO=∠ DOE$​。
∵以点​$O$​为圆心的半圆与​$AC$​相切于点​$E$​，
∴​$OE⊥ AC$​，∴​$∠ AEO=90°$​，
∴​$∠ DOE=90°$​，∴​$OD⊥ OE$​。
解：​$(2) $​∵​$OB=\sqrt {3}$​，∴​$OE=OD=OB=\sqrt {3}$​。
∵​$AB=AC$​，​$AB=BC$​，∴​$AB=AC=BC$​，
∴​$△ ABC$​为等边三角形，∴​$∠ A=60°$​，
∴在​$Rt△ AEO$​中，​$∠ AOE=30°$​，∴​$OA=2AE$​。
∵​$OE^2+AE^2=OA^2$​，
∴​$(\sqrt {3})^2+AE^2=(2AE)^2$​，解得​$AE=1$​，
∴​$OA=2$​，∴​$AC=AB=OA+OB=2+\sqrt {3}$​，
∴​$EC=AC-AE=2+\sqrt {3}-1=1+\sqrt {3}$​，
∴​$S_{四边形ODCE}=\frac {1}{2}(EC+OD)· OE=\frac {1}{2}×(1+\sqrt {3}+\sqrt {3})×\sqrt {3}=3+\frac {\sqrt {3}}{2}$​。
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