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证明：​$(1) $​连接​$OC$​。
∵​$OC=OA$​，∴​$∠ OAC=∠ OCA$​。
∵​$OP// AC$​，∴​$∠ OAC=∠ BOP$​，​$∠ OCA=∠ COP$​，
∴​$∠ COP=∠ BOP$​。
又∵​$OP=OP$​，​$OC=OB$​，∴​$△ COP≌△ BOP$​，
∴​$∠ OCP=∠ OBP=90°$​，∴​$OC⊥ PC$​。
∵​$OC$​是​$\odot O$​的半径，∴​$PC$​与​$\odot O$​相切。
解：​$(2) $​连接​$BC$​交​$OP $​于点​$D$​。
∵​$△ COP≌△ BOP (\mathrm {SAS})$​，∴​$PC=PB$​。
∵​$OB=OC$​，∴​$OP $​垂直平分​$BC$​，∴​$BC=2BD$​。
∵​$∠ OBP=90°$​，​$AO=BO=3$​，​$OP=5$​，
∴在​$Rt△ OBP_{中}$​，​$BP=\sqrt {OP^2-OB^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4$​。
∵​$S_{△ OBP}=\frac {1}{2}OB· BP=\frac {1}{2}OP· BD$​，
∴​$BD=\frac {OB· BP}{OP}=\frac {3×4}{5}=\frac {12}{5}$​，∴​$BC=\frac {24}{5}$​。
∵​$AB$​是​$\odot O$​的直径，∴​$AB=2AO=6$​，​$∠ ACB=90°$​，
∴在​$Rt△ ACB$​中，​$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt {6^2-(\frac {24}{5})^2}=\frac {18}{5}$​。

​$ (1) $​选择右侧同学的想法证明：
如图①，连接​$BD$​，​$EO$​，延长​$EO$​交​$AD$​于点​$F$​。
∵​$O$​是​$□ ABCD$​的对称中心，∴​$BD$​过点​$O$​，​$OB=OD$​。
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，∴​$AD// BC$​，
∴​$∠ ODF=∠ OBE$​，​$∠ DFO=∠ BEO$​，
∴​$△ DOF≌△ BOE (\mathrm {AAS})$​，∴​$OF=OE$​。
∵​$BC$​与​$\odot O$​相切于点​$E$​，∴​$OE⊥ BC$​，∴​$∠ BEO=90°$​，
∴​$∠ DFO=90°$​，∴​$OF⊥ AD$​。
∵​$OF $​是​$\odot O$​的半径，∴直线​$AD$​是​$\odot O$​的切线。
​$ (2) $​解：当​$AB$​与​$\odot O$​相切时，​$□ ABCD$​是菱形，理由如下：
如图②，设​$AB$​与​$\odot O$​相切于点​$H$​，连接​$OH$​，​$OE$​，​$BD$​，
∵点​$O$​是​$▱ ABCD$​的对称中心，∴​$BD$​过点​$O$​。
∵​$AB$​，​$BC$​是​$\odot O$​的切线，∴​$OH⊥ AB$​，​$OE⊥ BC$​。
∵​$OH=OE$​，∴​$∠ ABD=∠ CBD$​。
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，∴​$AD// BC$​，
∴​$∠ CBD=∠ ADB$​，∴​$∠ ABD=∠ ADB$​，
∴​$AB=AD$​，∴​$▱ ABCD$​是菱形。
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