证明：$ (2) $过$D$作$DM ⊥ AF $于$M$，
过$E$作$EN ⊥ AF $于$N$，
$ $由$“K$字$”$模型得$△ ABF ≌ △ DAM (\mathrm {AAS})$，
∴$AF = DM$。
$ $同理可得$△ ACF ≌ △ EAN (\mathrm {AAS})$，
∴$AF = EN$，
∴$EN = DM$。
∵$DM ⊥ AF$，$EN ⊥ AF$，
∴$∠ GMD = ∠ GNE = 90°$。
$ $在$△ DMG $与$△ ENG_{中}$，
$ \begin {cases} ∠ DGM = ∠ EGN \\∠ DMG = ∠ ENG \\DM = EN \end {cases}$
∴$△ DMG ≌ △ ENG (\mathrm {AAS})$，
∴$DG = EG$，即点$G $是$DE$的中点。
$ (3) $过$D$作$PQ ⊥ CE$于$P$，交$AF $于$Q$，
过$A$作$AM ⊥ PQ $于$M$，过$F_{作}FN ⊥ PQ $于$N$，
$ $由四边形$ABCD$和四边形$DEGF $为正方形，
易得$∠ ADC = ∠ EDF = 90°$，$AD = CD$，$DE = DF$，
$ $由$“K$字$”$模型得$△ ADM ≌ △ DCP (\mathrm {AAS})$，
$△ DFN ≌ △ EDP (\mathrm {AAS})$，
∴$S_{△ ADM} = S_{△ DCP}$，
$S_{△ DFN} = S_{△ EDP}$。
$ $同$(2)$得$△ AMQ ≌ △ FNQ (\mathrm {AAS})$，
∴$S_{△ AMQ} = S_{△ FNQ}$，
∴$S_{△ ADQ} + S_{△ FNQ} + S_{△ DFN} $
$= S_{△ ADQ} + S_{△ AMQ} + S_{△ DFN}$
$ = S_{△ ADM} + S_{△ DFN}$
$ = S_{△ DCP} + S_{△ EDP}$，
$ $即$S_1 = S_2$。
