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解：
​$ (1)\ \mathrm {a}^2 +b^2 =c^2$​，理由如下：
​$ $​梯形的面积为​$\frac {1}{2}(a+b)(a+b)=\frac {1}{2}(a+b)^2$​。
​$ $​三个三角形的面积和为​$\frac {1}{2}ab×2 +\frac {1}{2}c· c=ab+\frac {1}{2}c^2$​，
​$ $​所以​$\frac {1}{2}(a+b)^2=ab+\frac {1}{2}c^2$​，整理得​$a^2 +b^2 =c^2$​。
​$ (2) $​设上底长为​$ x\mathrm {cm}$​，则下底长为​$(x+1)\mathrm {cm}$​。
​$ $​因为高为​$7\ \mathrm {cm}$​，
所以​$x+x+1=7$​，
​$ $​解得​$x=3$​，​$x+1=4$​，
​$ $​所以​$S_{△ DEC}=\frac {1}{2}×(3^2 +4^2)=\frac {25}{2} (\mathrm {cm}^2)$​。
$2^{101}-1$
$x^{2016}-1$
解：原式​$=[(x+1)-1][(x+1)^{2025}+(x+1)^{2024}+(x+1)^{2023}+\dots +(x+1)+1]$​
​$=(x+1)^{2026}-1$​
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