(1) 证明：过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H。$
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases} BC=DE, \\ ∠ C=∠ E, \\ CA=EA, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})，$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ADE}，$
$\therefore \frac{1}{2}BC· AH=\frac{1}{2}DE· AF。$
$\because BC=DE，$
$\therefore AH=AF。$
又$\because AF⊥ DE，$$AH⊥ BC，$
$\therefore GA$平分$∠ DGB。$
(2) 解：$\because △ ABC≌△ ADE，$
$\therefore AB=AD。$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ ABH$中，
$\begin{cases} AD=AB, \\ AF=AH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ ABH(\mathrm{HL})，$
$\therefore S_{△ ADF}=S_{△ ABH}，$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}DGBA}=S_{\mathrm{四边形}AFGH}=6。$
在$\mathrm{Rt}△ AFG$和$\mathrm{Rt}△ AHG$中，
$\begin{cases} AG=AG, \\ AF=AH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFG≌\mathrm{Rt}△ AHG(\mathrm{HL})，$
$\therefore S_{△ AFG}=S_{△ AHG}=3。$
$\because AF=\frac{3}{2}，$
$\therefore \frac{1}{2}FG· \frac{3}{2}=3，$
解得 $FG=4。$
