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解：
​$ (1)$​设每个甲种型号足球的价格是​$x$​元，每个乙种型号足球的价格是​$y$​元，
根据题意，得​$\begin {cases} 3x+2y=900， \\5x+4y=1600 \end {cases}$​，解得​$\begin {cases} x=200， \\y=150 \end {cases}$​。
答：每个甲种型号足球的价格是​$200$​元，每个乙种型号足球的价格是​$150$​元。
​$ (2)$​设购买甲种型号足球​$m_{个}$​，则购买乙种型号足球​$(28-m)$​个，
根据题意，得​$\begin {cases}\ \mathrm {m}≥28-m， \\200m+150(28-m)≤5000 \end {cases}$​，
​$ $​解得​$14≤ m≤16$​。
​$ $​又因为​$m $​为整数，
所以​$m $​的值为​$14，15，16$​。
答：该学校共有​$3$​种购买方案。
​$ (3)$​由​$(2)$​知，
​$ $​当购买甲种型号足球​$14$​个时，购买乙种型号足球​$28-14=14($​个​$)$​，
则​$14×200+14×150=4900($​元​$)$​；
​$ $​当购买甲种型号足球​$15$​个时，购买乙种型号足球​$28-15=13($​个​$)$​，
则​$15×200+13×150=4950($​元​$)$​；
​$ $​当购买甲种型号足球​$16$​个时，购买乙种型号足球​$28-16=12($​个​$)$​，
则​$16×200+12×150=5000($​元​$)$​。
​$ $​因为​$4900＜4950＜5000$​，
​$ $​所以购买甲种型号足球​$14$​个，乙种型号足球​$14$​个时花费最少。
解：
(1)设A,B两类门票各买了$x$张，$y$张，根据题意，
得$\begin{cases} x+y=7, \\ 1400x+840y=7000 \end{cases}，$解得$\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}。$
答：A类门票买了2张，B类门票买了5张。
(2)设C类门票购买了$z$张，则B类门票购买了$(10-z)$张，
根据题意，得$840(10-z)+560z≤7000，$
解得$z≥5。$
答：最少购买C类门票5张。
(3)设A类门票购买$m$张，C类门票购买$n$张，
根据题意，得$1400m+5×840+560n=12600，$
化简，得$5m+2n=30，$
所以$m=6-\frac{2}{5}n。$
因为$m,n$都是正整数，
所以$\begin{cases} m=4, \\ n=5 \end{cases}$或$\begin{cases} m=2, \\ n=10 \end{cases}。$
所以共有两种购买方案：A类门票购买4张，C类门票购买5张或A类门票购买2张，C类门票购买10张。
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