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解：因为$-3＜4x-7≤9，$
所以$-3+7＜4x-7+7≤9+7，$即$4＜4x≤16，$
所以$1＜x≤4。$
所以原不等式的解集为$1＜x≤4，$其整数解为2,3,4。
解：去分母，得$2(x+1)-6≤3(2-x)，$
去括号，得$2x+2-6≤6-3x，$
移项，得$2x+3x≤6+6-2，$
合并同类项，得$5x≤10，$
两边都除以5，得$x≤2，$
所以原不等式的解集为$x≤2，$

$x≤1$
$x≥-3$
$-3≤ x≤1$

解：$\begin{cases} x+3y=3-2k, ① \\ 3x+y=1+k, ② \end{cases}$
①+②，得$4x+4y=4-k，$
所以$x+y=1-\frac{1}{4}k。$
因为$x+y＞0，$
所以$1-\frac{1}{4}k＞0，$
解得$k＜4。$
$\begin{cases} x-2(x-1)≤3, ③ \\ \frac{2k+x}{3}≥ x, ④ \end{cases}$
解不等式③，得$x≥-1，$
解不等式④，得$x≤ k。$
因为关于$x$的不等式组$\begin{cases} x-2(x-1)≤3, \\ \frac{2k+x}{3}≥ x \end{cases}$有解，
所以$k≥-1，$
综上可得，$-1≤ k＜4，$
所以符合条件的整数$k$的值的和为$-1+0+1+2+3=5。$
解：
(1)$\begin{cases} x-y=m+6, ① \\ x+y=3m+2, ② \end{cases}$
①+②，得$2x=4m+8，$
解得$x=2m+4。$
②-①，得$2y=2m-4，$
解得$y=m-2，$
故原方程组的解为$\begin{cases} x=2m+4, \\ y=m-2 \end{cases}。$
因为方程组$\begin{cases} x-y=m+6, \\ x+y=3m+2 \end{cases}$的解满足$x≥0，$$y＜0，$
所以$\begin{cases} 2m+4≥0, \\ m-2＜0 \end{cases}，$
解得$-2≤ m＜2。$
所以$m$的取值范围是$-2≤ m＜2。$
(2)因为不等式$(2m+1)x＜2m+1$的解集为$x＞1，$
所以$2m+1＜0，$即$m＜-\frac{1}{2}。$
又因为$-2≤ m＜2，$
所以$-2≤ m＜-\frac{1}{2}。$
又因为$m$是整数，
所以$m$的值是$-2$或$-1。$
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