第19页 - 江苏版实验班提优训练数学五年级上下册答案

(45-15)×15÷2=225(平方米)

答：围成的水域面积是225

平方米。

扩大到原来的6倍

112

B

A

36×2÷6=12(分米)

上底：(12-2)÷2=5(分米)

下底：5+2=7(分米)

答：原来梯形的上底是5

分米，下底是7分米。

公式

倍数

30

10

90

160

倍数

【分析】
我们首先回忆梯形的面积计算公式，要推导面积的变化倍数，不需要代入具体数值，先写出原梯形的面积表达式，再把变化后的上底、下底、高代入面积公式，结合乘法运算的规律，对比新面积和原面积的关系就能得到结果。首先注意上底和下底是相加的关系，两者同时扩大到原来的2倍，它们的和也会同步扩大到原来的2倍，再结合高扩大的倍数，根据积的变化规律就能直接算出总面积的扩大倍数。
【解析】
设原梯形的上底为$a$，下底为$b$，高为$h$，根据梯形面积公式，原面积为：
$S=(a+b)× h÷2$
变化后，上底变为$2a$，下底变为$2b$，高变为$3h$，代入面积公式得到新面积：
$\begin{aligned}S'&=(2a+2b)× 3h÷2\\&=2(a+b)×3h÷2\\&=(2×3)×(a+b)× h÷2\\&=6× S\end{aligned}$
因此梯形的面积扩大到原来的6倍。
【答案】
扩大到原来的6倍
【知识点】
梯形面积公式，积的变化规律
【点评】
本题属于基础的面积变化推导题，不需要代入具体数值计算，核心是注意上底、下底是求和关系，二者同时扩大相同倍数时，上下底之和的扩大倍数和单条底的扩大倍数一致，部分同学容易错误认为上下底各扩2倍就会让和扩大4倍，要注意区分相加和相乘的不同变化逻辑。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题的核心是利用已知的上下底平均长度先求出上下底的总和，再套用梯形面积公式计算。首先我们要明确，两个数的平均数乘2就等于这两个数的和，不需要分别求出上底和下底的具体数值，直接用平均长度乘2得到上下底之和，再代入梯形面积公式「面积=（上底+下底）×高÷2」就能直接算出结果，解题步骤简便，也能避免多余计算出错。
【解析】
第一步：计算梯形上底与下底的和
已知上底和下底的平均长度是16厘米，根据平均数的定义，上下底之和 = 平均长度×2 = $16×2=32$ 厘米
第二步：代入梯形面积公式计算
梯形面积公式为：$S=(a+b)h÷2$，其中$a$、$b$分别为梯形的上底、下底，$h$为梯形的高
将上下底之和32厘米，高7厘米代入公式：
$S=32×7÷2=224÷2=112$（平方厘米）
【答案】
112
【知识点】
梯形面积计算，平均数应用
【点评】
本题属于基础题型，设置的小易错点是没有直接给出上下底的和，部分粗心的同学会直接把上下底的平均长度16当作上下底之和代入公式，算出错误结果56，解题时要注意区分“两个数的平均数”和“两个数的和”的差异，灵活运用公式简化计算。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以按照三步思路来解题：第一步先回忆梯形的面积计算公式，题目已经给出单个梯形桌面的上底、下底和高，先算出1个梯形桌面的面积；第二步观察题图的拼接桌面，数清楚它一共由多少个完全相同的梯形桌面组成，数完可以确认总共有6个梯形；第三步用单个梯形的面积乘梯形总数量，就能得到组合桌面的总面积，最后匹配选项选出正确答案，解题时要注意不要数错梯形个数，也不要遗漏梯形面积公式里的除以2步骤。
【解析】
1. 计算单个梯形桌面的面积
梯形面积公式为 $S=(a+b)h÷2$，其中$a$为上底，$b$为下底，$h$为高，代入已知条件$a=40\mathrm{cm}$，$b=60\mathrm{cm}$，$h=34\mathrm{cm}$：
$S_1=(40+60)×34÷2=100×34÷2=1700$（平方厘米）
2. 确认拼接桌面的梯形总数
观察题图可知，该组合桌面一共由6个完全相同的梯形桌面拼接而成。
3. 计算桌面总面积
总面积 = 单个梯形面积 × 梯形总个数：
$S_{\mathrm{总}}=1700×6=10200$（平方厘米），对应选项B。
【答案】B
【知识点】
梯形面积计算，组合图形面积
【点评】
本题是基础的组合图形面积计算题，核心考查梯形面积公式的实际应用，易错点是数错拼接的梯形数量，不少同学会误数成1个得到1700错选A，或是误数成5个得到8500错选C，解题时牢记梯形面积公式，再仔细观察图形数清梯形总数就可以轻松避开陷阱得到正确结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先梳理题目给出的条件：梯形上底延长5厘米后面积增加25平方厘米，同时转化为平行四边形。第一步先判断新增图形：延长上底后多出的部分是底为5厘米的三角形，它的面积就是25平方厘米，我们可以通过三角形面积公式反推这个三角形的高，这个高和原梯形的高完全相等。第二步，根据平行四边形对边相等的性质，原梯形的下底长度等于延长之后的上底总长度，也就是原上底10厘米加上延长的5厘米。第三步，得到原梯形的上底、下底和高之后，代入梯形面积公式就能算出原梯形的面积。
【解析】
1. 求梯形的高：
延长上底新增的部分是底为5cm的三角形，面积为25cm²，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得高：
$h=2S÷ a=2×25÷5=10\ \mathrm{cm}$
该高就是原梯形的高。
2. 求梯形的下底：
延长后得到平行四边形，平行四边形对边相等，因此原梯形的下底长度等于延长后的上底总长度：
$b=10+5=15\ \mathrm{cm}$
3. 计算原梯形的面积：
已知原梯形上底为10cm，下底为15cm，高为10cm，代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$：
$S=(10+15)×10÷2=125\ \mathrm{平方厘米}$
【答案】
125，对应选项A
【知识点】
三角形面积计算；梯形面积计算；平行四边形性质
【点评】
本题是多边形面积的典型变形题，核心是将新增的面积转化为三角形的面积，间接求出梯形的高，再结合平行四边形的特征得到梯形的下底，解题思路连贯，能很好地考察学生对常见多边形面积公式的关联运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察图形特征，可知围成的水域是梯形，和岸边重合的边不需要使用浮标绳，浮标绳的总长45米包含了梯形的上底、下底以及梯形的高的长度，其中梯形的高已知为15米。我们不需要分别求出梯形上底和下底的具体数值，只需要用浮标总长度减去高15米，就能直接得到上底与下底的和，再代入梯形面积公式即可算出水域的面积。
【解析】
① 计算梯形上底与下底的和：
浮标绳总长为45米，已知梯形的高是15米，因此上底与下底的和为：
45 - 15 = 30（米）
② 代入梯形面积公式计算水域面积：
梯形面积公式为$S=(a+b)× h÷2$（其中a、b为上底和下底，h为高），代入数值可得：
$30×15÷2=225$（平方米）
【答案】
225平方米
【知识点】
梯形面积计算
【点评】
本题结合古诗文化的跨学科情境，考查梯形面积的灵活应用，不需要单独求解上底和下底的具体长度，直接利用两者之和代入公式计算即可，打破了学生必须分别求出两个底的思维定式，能有效锻炼学生对梯形面积公式的理解运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察图形的拼接逻辑：该推导方法是将梯形沿上下底中点的连线（中位线）剪开，旋转后拼接成平行四边形，拼接前后总面积不变，因此平行四边形的面积等于原梯形的面积。我们可以先利用梯形的面积公式反推得到梯形上底与下底的和：已知梯形面积S=(上底+下底)×高÷2，变形可得上底+下底=2S÷高，代入已知的平行四边形面积（即梯形面积）和梯形的高，就能算出上下底的总和。题目还给出上底比下底少2分米，也就是上下底的差为2分米，这是典型的和差问题，代入和差公式即可分别求出上底和下底的长度。
【解析】
1. 计算梯形上底与下底的和
拼接前后图形总面积不变，因此原梯形的面积等于变化后平行四边形的面积，即梯形面积为36平方分米。
根据梯形面积公式 $ S = \frac{(上底+下底)× h}{2} $，变形可得上下底之和：
$上底 + 下底 = \frac{2S}{h} = \frac{2×36}{6} = 12 \ (\mathrm{分米})$
2. 计算梯形的上底长度
已知上底比下底少2分米，即下底-上底=2分米，根据和差问题公式：较小数=(和-差)÷2，上底数值更小，因此：
$上底 = (12 - 2) ÷ 2 = 5 \ (\mathrm{分米})$
3. 计算梯形的下底长度
$下底 = 上底 + 2 = 5 + 2 =7 \ (\mathrm{分米})$
【答案】
原来梯形的上底是5分米，下底是7分米
【知识点】
梯形面积推导，和差问题，平行四边形面积
【点评】
本题属于梯形面积推导的创新考法，没有直接考察公式的套用，而是结合拼接转化的过程，要求学生理解梯形面积公式的由来，跳出死记硬背公式的思维定式，同时结合和差问题综合求解，既巩固了图形转化的数学思想，也锻炼了学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.5

【分析】
这道题没有给出梯形的上下底和高的具体数值，无法直接套用梯形面积公式计算，我们可以从已知条件DO=3BO和涂色△AOD面积为30平方厘米入手：首先回忆等高三角形的面积规律，等高的两个三角形，面积的倍数关系等于对应底边的倍数关系；其次利用同底等高的△ABD和△ABC减去公共部分△AOB，得到△AOD和△BOC面积相等，再依次推导其余两个三角形的面积，最后将四个三角形的面积相加就能得到梯形总面积，全程利用线段的倍数关系推导面积的倍数关系即可求解。
【解析】
解：
1. 推导△BOC的面积：
△ABD和△ABC以AB为公共底，且AB平行于DC，两个三角形的高都等于梯形上下底AB、DC之间的距离，因此△ABD和△ABC同底等高，面积相等。
两个三角形同时减去公共重叠部分△AOB，可得剩余部分面积相等：$S_{△ AOD}=S_{△ BOC}$，已知涂色部分$S_{△ AOD}=30\ \mathrm{cm}^2$，因此$S_{△ BOC}=30\ \mathrm{cm}^2$。
2. 推导△AOB的面积：
△AOD和△AOB共享从点A向对角线BD作的高，属于等高三角形，已知$DO=3BO$，等高三角形面积比等于底边长的比，因此$S_{△ AOD}=3S_{△ AOB}$，可得：
$S_{△ AOB}=30÷3=10\ \mathrm{cm}^2$。
3. 推导△DOC的面积：
△DOC和△BOC共享从点C向对角线BD作的高，属于等高三角形，已知$DO=3BO$，同理可得$S_{△ DOC}=3S_{△ BOC}$，因此：
$S_{△ DOC}=30×3=90\ \mathrm{cm}^2$。
4. 计算梯形总面积：
梯形ABCD由四个三角形组成，总面积为四个三角形面积之和：
$S_{\mathrm{梯形}}=30+10+30+90=160\ \mathrm{cm}^2$。
对应填空答案依次为：公式、倍数、倍数；30、10、90、160；倍数。
【答案】
公式倍数倍数 30 10 90 160 倍数
【知识点】
等高三角形面积规律，梯形面积计算
【点评】
本题是梯形蝴蝶模型的基础应用，不需要死记复杂模型结论，仅通过等高三角形面积与底的正比关系即可推导，打破了必须用底和高计算梯形面积的固化思维，引导学生学会通过线段的倍数关系推导面积的数量关系，锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.6