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解：​$ (1) $​因为​$x_1，x_2$​是关于​$x$​的一元二次方程​$x^2-2kx+k^2-k+1=0$​的两个不相等的实数根，
​$ $​所以判别式​$∆=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)＞0$​，
​$ $​化简得​$4k-4＞0$​，解得​$k＞1$​。
​$ $​故​$k$​的取值范围是​$k＞1$​。
​$ (2) $​因为​$1＜k＜5$​，且​$k$​为整数，所以​$k$​的可能取值为​$2$​，​$3$​，​$4$​。
​$ $​当​$k=2$​时，原方程化为​$x^2-4x+3=0$​，解得​$x_1=1$​，​$x_2=3$​，均为整数，符合题意；
​$ $​当​$k=3$​时，原方程化为​$x^2-6x+7=0$​，解得​$x_1=3+\sqrt {2}$​，​$x_2=3-\sqrt {2}$​，不是整数，舍去；
​$ $​当​$k=4$​时，原方程化为​$x^2-8x+13=0$​，解得​$x_1=4+\sqrt {3}$​，​$x_2=4-\sqrt {3}$​，不是整数，舍去。
综上所述，​$k$​的值为​$2$​。
解：设小路的宽度为​$x\ \mathrm {m}$​。
由题意，得​$(20-4x)(14-4x)=24×9$​，
​$ $​整理得​$2x^2-17x+8=0$​，
​$ $​解得​$x_1=0.5$​，​$x_2=8$​。
​$ $​因为​$x=8$​时，​$20-4x＜0$​，不符合实际，舍去。
​$ $​故小路的宽度为​$0.5\ \mathrm {m}$​。
解：​$(1) $​设​$2$​月、​$3$​月生产收入的月增长率为​$x$​。
​$ $​由题意得​$100+100(1+x)+100(1+x)^2=364$​，
​$ $​整理得​$x^2+3x-0.64=0$​，
​$ $​解得​$x_1=0.2=20\%$​，​$x_2=-3.2($​不符合题意，舍去）。
​$ $​故​$2$​月、​$3$​月生产收入的月增长率是​$20\%$​。
​$ (2) 3$​月的生产收入为​$100×(1+20\%)^2=144$​万元，
设使用新设备​$y$​个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润。
​$ $​由题意得​$364+144(y-3)-640≥(90-5)y$​，
​$ $​化简得​$59y≥708$​，
解得​$y≥12$​。
​$ $​故使用新设备​$12$​个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润。
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