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解：$(1) $设每件售价应定为$x$元。

$ $由题意得$(x-40)(20+10×\frac {60-x}{5})=(60-40)×20$，

$ $整理得$x^2-110x+3000=0$，

$ $解得$x_1=50$，$x_2=60$。

因为商家想尽快销售完该款小商品，舍去$x=60$。

$ $故每件售价应定为$50$元。

$ (2) $设该款小商品需打$a$折销售。

$ $由题意得$62.5×\frac {a}{10}≤50$，

$ $解得$a≤8$。

$ $故该款小商品至少需打$8$折销售。

$\frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2}$

解：$ (2) $因为一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个根分别为$m，n$，

$ $所以由根与系数的关系得$m+n=\frac {3}{2}$，$mn=-\frac {1}{2}$，

$ $所以$\frac {n}{m}+\frac {m}{n}=\frac {\mathrm {m^2}+n^2}{mn}=\frac {(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac {(\frac {3}{2})^2-2×(-\frac {1}{2})}{-\frac {1}{2}}=-\frac {13}{2}$。

$ (3) $因为$2s^2-3s-1=0$，$2t^2-3t-1=0$，且$s≠ t$，

$ $所以$s，t $可看作方程$2x^2-3x-1=0$的两个实数根，

$ $由根与系数的关系得$s+t=\frac {3}{2}$，$st=-\frac {1}{2}$，

$ $所以$(t-s)^2=(s+t)^2-4st=(\frac {3}{2})^2-4×(-\frac {1}{2})=\frac {17}{4}$，

$ $则$t-s=\pm \frac {\sqrt {17}}{2}$，

$ $所以$\frac {1}{s}-\frac {1}{t}=\frac {t-s}{st}=\frac {\pm \frac {\sqrt {17}}{2}}{-\frac {1}{2}}=\pm \sqrt {17}$。