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第5页

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解：$ (2) $原方程两边平方，得$2x+3=x^2$，即$x^2-2x-3=0$，

$ $解得$x_1=3$，$x_2=-1$。

检验：当$x=3$时，左边$\sqrt {2×3+3}=3$，右边$=3$，等式成立；

$ $当$x=-1$时，左边$\sqrt {2×(-1)+3}=1$，右边$=-1$，等式不成立，舍去。

$ $故原方程的解为$x=3$。

$ (3) $设$AP=x\ \mathrm {m}$，则$PD=(8-x)\ \mathrm {m}$。

$ $在$Rt△ ABP_{中}$，$BP=\sqrt {AP^2+AB^2}=\sqrt {x^2+9}\ \mathrm {m}$，

$ $在$Rt△ PDC$中，$CP=\sqrt {PD^2+DC^2}=\sqrt {(8-x)^2+9}\ \mathrm {m}$，

$ $由题意得$BP+CP=10$，即$\sqrt {x^2+9}+\sqrt {(8-x)^2+9}=10$，

$ $移项得$\sqrt {(8-x)^2+9}=10-\sqrt {x^2+9}$，

$ $两边平方得$(8-x)^2+9=100+x^2+9-20\sqrt {x^2+9}$，

$ $整理得$5\sqrt {x^2+9}=4x+9$，

$ $两边再次平方得$25(x^2+9)=(4x+9)^2$，

$ $整理得$x^2-8x+16=0$，解得$x_1=x_2=4$。

经检验，$x=4$是原方程的解。

$ $故$AP $的长为$4\ \mathrm {m}$。