第15页

信息发布者：
$\frac{1}{2}$
$2π$
$6\sqrt{3}+π$
$\frac{π}{8}$
$\sqrt{13}-1$
证明：​$ (1) $​根据圆周角定理，​$∠ AOB = 2∠ ACB$​，​$∠ BOC = 2∠ BAC$​，
​$ $​已知​$∠ ACB=2∠ BAC$​，因此​$∠ AOB=2∠ BOC$​。
​$ (2) $​过点​$O$​作​$OD⊥ AB$​于点​$D$​，延长​$OD$​交​$\odot O$​于点​$E$​，连接​$BE$​，
​$ $​则​$∠ BDO = ∠ BDE = 90°$​，​$BD=\frac {1}{2}AB$​，​$\overset {\frown }{AE}=\overset {\frown }{BE}$​，
​$ $​所以​$∠ AOE = ∠ BOE$​，即​$∠ AOB = 2∠ BOE$​。
​$ $​由​$(1)$​得​$∠ AOB=2∠ BOC$​，
因此​$∠ BOE = ∠ BOC$​，可得​$BE=BC=\sqrt {5}$​。
​$ $​因为​$AB=4$​，
所以​$BD=2$​，
在​$Rt△ BDE$​中，​$DE=\sqrt {BE^2-BD^2}=1$​。
​$ $​设​$\odot O$​的半径为​$r$​，则​$OB=OE=r$​，​$OD=OE-DE=r-1$​。
​$ $​在​$Rt△ ODB$​中，​$OD^2+BD^2=OB^2$​，即​$(r-1)^2+2^2=r^2$​，
​$ $​解得​$r=\frac {5}{2}$​。
​$ $​故​$\odot O$​的半径为​$\frac {5}{2}$​。
证明：​$(1)$​连接​$OC$​。
​$ $​因为​$C$​是​$\overset {\frown }{BE}$​的中点，
所以​$\overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{CE}$​，
因此​$∠ OAC = ∠ CAD$​。
​$ $​又​$OA=OC$​，
所以​$∠ OAC = ∠ OCA$​，可得​$∠ CAD = ∠ OCA$​，
即​$AE// OC$​。
​$ $​因为​$AE⊥ CD$​，
所以​$CD⊥ OC$​，
又​$OC$​是​$\odot O$​的半径，
因此​$CD$​是​$\odot O$​的切线。
​$ (2) $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，
所以​$∠ ACB=90°$​。
​$ $​已知​$∠ ABC=60°$​，
因此​$∠ CAB=90°-∠ ABC=30°$​，可得​$∠ CAD=∠ OAC=30°$​，
​$ $​所以​$∠ DAF = ∠ OAC + ∠ CAD = 60°$​。
​$ $​因为​$AE⊥ CD$​，
所以​$∠ D=90°$​，
因此​$∠ F=90°-∠ DAF=30°$​。
​$ $​在​$Rt△ ACD$​中，​$AC=2CD$​，
已知​$CD=\sqrt {3}$​，
所以​$AC=2\sqrt {3}$​，
​$ $​由勾股定理得​$AD=\sqrt {AC^2-CD^2}=3$​。
​$ $​在​$Rt△ ADF_{中}$​，​$∠ F=30°$​，
所以​$AF=2AD=6$​。
上一页 下一页