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解：​$(1) $​设​$OC=m$​，则​$OA=m+2$​，
​$ $​因为矩形​$OABC$​的面积为​$15$​，
所以​$m(m+2)=15$​，
​$ $​整理得​$\mathrm {m^2}+2m-15=0$​，
​$ $​解得​$m_1=3$​，​$m_2=-5($​不合题意，舍去），
​$ $​所以​$OA=5$​，​$OC=3$​。
​$ (2) $​证明：连接​$O'D$​，
​$ $​因为四边形​$OABC$​是矩形，
所以​$OC=AB$​，​$∠ OCE=∠ ABE=90°$​。
​$ $​因为​$E$​为​$BC$​的中点，所以​$CE=BE$​。
​$ $​在​$△ OCE$​和​$△ ABE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {OC}=AB \\∠ OCE=∠ ABE \\CE=BE \end {cases}$​
​$ $​所以​$△ OCE≌△ ABE(\mathrm {SAS})$​，
​$ $​所以​$OE=AE$​，即​$∠ AOE=∠ OAE$​。
​$ $​因为​$O'O=O'D$​，
所以​$∠ AOE=∠ O'DO$​，
​$ $​所以​$∠ OAE=∠ O'DO$​，即​$O'D// AE$​。
​$ $​又因为​$DF⊥ AE$​，
所以​$DF⊥ O'D$​。
​$ $​因为​$O'D$​是​$\odot O'$​的半径，
所以​$DF $​为​$\odot O'$​的切线。
​$ (3) $​存在，点​$P $​的坐标为​$(1，3)$​、​$(9，3)$​、​$(-4，3)$​、​$(4，3)$​。
解：​$(1) $​连接​$OD$​，
​$ $​因为直线​$CD$​与​$\odot O$​相切，
所以​$OD⊥ CD$​，即​$∠ ODC=90°$​。
​$ $​因为四边形​$ABCD$​是平行四边形，
所以​$AB// CD$​，
​$ $​所以​$∠ AOD=∠ ODC=90°$​。
​$ $​又因为​$OA=OD$​，
所以​$∠ A=∠ ODA=\frac {1}{2}(180°-∠ AOD)=45°$​。
​$ (2) $​连接​$OD$​，过点​$D$​作​$DM⊥ OA$​于点​$M$​，过点​$O$​作​$ON⊥ CD$​于点​$N$​，
​$ $​则​$∠ OMD=∠ AMD=∠ OND=90°$​，​$DN=\frac {1}{2}DH$​。
​$ $​设​$OM=x$​，
因为​$\odot O$​半径为​$5$​，
所以​$OA=OD=5$​，则​$AM=5-x$​。
​$ $​由​$AD^2-AM^2=OD^2-OM^2$​，​$AD=6$​，
​$ $​得​$6^2-(5-x)^2=5^2-x^2$​，解得​$x=1.4$​，即​$OM=1.4$​。
​$ $​因为四边形​$ABCD$​是平行四边形，
所以​$CD=AB=10$​，​$AB// CD$​，
​$ $​所以​$∠ CDM=∠ AMD=90°$​，
即四边形​$OMDN$​是矩形，
​$ $​所以​$DN=OM=1.4$​，则​$DH=2DN=2.8$​，
​$ $​所以​$CH=CD-DH=10-2.8=7.2$​。
​$ (3) $​分两种情况讨论：
​$ ① $​当点​$D$​在点​$E$​左侧时，连接​$OD$​，过点​$O$​作​$OF⊥ CD$​于点​$F$​，过点​$D$​作​$DG⊥ AB$​于点​$G$​，
​$ $​则​$DF=\frac {1}{2}DE=3$​，四边形​$OFDG $​是矩形，
所以​$OG=DF=3$​。
​$ $​因为​$OA=OD=5$​，
所以​$AG=OA-OG=5-3=2$​，
​$ DG=\sqrt {OD^2-OG^2}=\sqrt {25-9}=4$​，
​$ $​所以​$AD=\sqrt {AG^2+DG^2}=\sqrt {2^2+4^2}=2\sqrt {5}$​。
​$ ② $​当点​$D$​在点​$E$​右侧时，连接​$OD$​，过点​$O$​作​$OQ⊥ CE$​于点​$Q$​，过点​$D$​作​$DP⊥ AB$​于点​$P$​，
​$ $​则​$DQ=\frac {1}{2}DE=3$​，四边形​$DPOQ $​是矩形，
所以​$OP=DQ=3$​。
​$ $​所以​$AP=OA+OP=5+3=8$​，​$PD=\sqrt {OD^2-OP^2}=\sqrt {25-9}=4$​，
​$ $​所以​$AD=\sqrt {AP^2+PD^2}=\sqrt {8^2+4^2}=4\sqrt {5}$​。
综上，​$AD$​的长为​$2\sqrt {5}$​或​$4\sqrt {5}$​。
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