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解：​$(1) $​列表如下：

所有可能的坐标为：​$(0，-1)，(0，-2)，(0，0)，(1，-1)，(1，-2)，$​
​$(1，0)，(2，-1)，(2，-2)，(2，0)$​。
​$ (2) $​共​$9$​种等可能结果，其中在​$y=-x+1$​图象上的点有​$(1，0)，(2，-1)$​共​$2$​种，
​$ $​所以概率​$P=\frac {2}{9}$​。
​$ (3) $​过点​$M$​能作​$\odot O$​的切线等价于点​$M$​在圆上或圆外，
满足条件的点有​$(0，-2)，(1，-2)，(2，-1)，(2，-2)，(2，0)$​共​$5$​种，
​$ $​所以概率​$P=\frac {5}{9}$​。
解：​$ (1) △ BDE$​是等腰直角三角形，证明如下：
​$ $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，
所以​$∠ ADB=90°$​。
​$ $​因为​$AE，BE$​分别平分​$∠ BAC，∠ ABC$​，
​$ $​所以​$∠ BAE=\frac {1}{2}∠ BAC$​，​$∠ ABE=\frac {1}{2}∠ ABC$​，
​$ ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE=\frac {1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$​
​$=\frac {1}{2}(180°-∠ ACB)=45°$​，
​$ $​所以​$∠ DBE=90°-∠ BED=45°$​，
即​$∠ BED=∠ DBE$​，​$BD=DE$​，
​$ $​故​$△ BDE$​是等腰直角三角形。
​$ (2) $​连接​$OD$​，
因为​$AE$​平分​$∠ BAC$​，
所以​$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{CD}$​，
即​$BD=CD$​，
​$ $​又​$OB=OC$​，所以​$OD$​垂直平分​$BC$​，​$BF=\frac {1}{2}BC$​。
​$ $​在等腰直角​$△ BDE$​中，​$BE=2\sqrt {10}$​，
所以​$BE=\sqrt {2}BD$​，得​$BD=2\sqrt {5}$​。
​$ $​因为​$AB=10$​，
所以​$OB=OD=5$​，
设​$OF=x$​，则​$DF=5-x$​，
​$ $​由​$OB^2-OF^2=BD^2-DF^2$​，得​$25-x^2=20-(5-x)^2$​，
解得​$x=3$​，
​$ $​所以​$BF=\sqrt {OB^2-OF^2}=4$​，
故​$BC=2BF=8$​。
解：​$ (1) $​连接​$OE$​，过​$O$​作​$OM⊥ AE$​于​$M$​。
​$ $​因为​$DF⊥ AC$​，​$∠ CDF=15°$​，
所以​$∠ C=75°$​。
​$ $​因为​$AB=AC$​，
所以​$∠ ABC=∠ C=75°$​，​$∠ BAC=30°$​，
​$ $​所以​$∠ BOE=2∠ BAC=60°$​，​$∠ AOE=120°$​。
​$ $​因为​$OA=3$​，
所以​$OM=\frac {3}{2}$​，​$AM=\frac {3\sqrt {3}}{2}$​，​$AE=3\sqrt {3}$​。
​$ S_{扇形OAE}=\frac {120π×3^2}{360}=3π$​，
​$S_{△ OAE}=\frac {1}{2}×3\sqrt {3}×\frac {3}{2}=\frac {9\sqrt {3}}{4}$​，
​$ $​所以阴影部分面积​$S=3π-\frac {9\sqrt {3}}{4}$​。
​$ (2) $​连接​$BE$​，
因为​$AB$​是直径，
所以​$BE⊥ AC$​，
又​$DF⊥ AC$​，故​$BE// DF$​，​$∠ CBE=∠ CDF$​。
​$ $​因为​$∠ CBE=∠ CAD$​，
所以​$∠ CDF=∠ CAD$​。
​$ $​因为四边形​$ABDE$​内接于​$\odot O$​，
所以​$∠ AED+∠ ABC=180°$​，
又​$∠ AED+∠ DEC=180°$​，
故​$∠ DEC=∠ ABC$​。
​$ $​因为​$AB=AC$​，
所以​$∠ ABC=∠ C$​，
即​$∠ DEC=∠ C$​，​$DE=DC$​，​$DF⊥ EC$​，
故​$∠ CDF=∠ EDF$​，
​$ $​所以​$∠ CAD=∠ EDF$​。
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