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5，13，27，
31，47，59，
45
12，102
5，13，31，
47，59
12，27，102，45
质数：17，41
合数：84，57，98，130
84=2×2×3×7
57=3×19
98=2×7×7
130=2×5×13
1365
9360
0
4
0
204001000
2391
20=2×10=4×5
有4种分法，分别是：①平均分成2堆，每堆10个苹果；②平均分成4堆，每堆5个苹果；③平均分成5堆，每堆4个苹果；④平均分成10堆，每堆2个苹果。
答：有4种分法。
答：3253不是13的倍数，254514是13的倍数。
理由：253-3=250，250不是13的倍数，因此3253不是13的倍数；514-254=260，260是13的倍数，因此254514是13的倍数。
【分析】
解题时我们可以分两步完成分类：第一步先回忆奇数、偶数的定义，按照“能否被2整除”的标准，把所有数先分成奇数和偶数两类：不能被2整除的数归为奇数，能被2整除的归为偶数。第二步再回忆质数、合数的定义，按照“因数的个数”的标准，把所有数分成质数和合数两类：只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数。逐个核对给出的9个数字，就能准确完成分类，注意不要混淆两类分类的标准，避免把奇数错当成质数、把偶数错当成合数。
【解析】
1. 区分奇数和偶数：
逐个判断各数能否被2整除：
5、13、27、31、47、59、45都不能被2整除，属于奇数；
12、102都能被2整除，属于偶数。
2. 区分质数和合数：
逐个判断各数的因数个数：
5的因数只有1、5；13的因数只有1、13；31的因数只有1、31；47的因数只有1、47；59的因数只有1、59，这些数都只有1和自身两个因数，属于质数。
12的因数有1、2、3、4、6、12；27的因数有1、3、9、27；102的因数有1、2、3、6、17、34、51、102；45的因数有1、3、5、9、15、45，这些数除了1和自身外还有其他因数，属于合数。
【答案】
奇数:5,13,27,31,47,59,45
偶数:12,102
质数:5,13,31,47,59
合数:12,27,102,45
【知识点】
奇数与偶数的定义
质数与合数的定义
【点评】
本题是基础的数的分类练习题，核心是区分两种不同的分类维度：奇数偶数是按能否被2整除划分，质数合数是按因数的个数划分，要注意部分奇数比如27、45属于合数，不要误以为所有奇数都是质数，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先我们要先回忆质数和合数的定义，先逐个对给出的6个数字进行属性判断：一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数就是质数，如果除了1和它本身还有其他因数就是合数。先逐个排查每个数的因数，先把所有数分为质数、合数两类，之后对筛选出的合数，从最小的质因数开始试除，用短除法逐步把合数拆成若干个质数相乘的形式，注意最终所有相乘的数都必须是质数，不能出现合数，就完成分解质因数了。
【解析】
第一步：根据定义判断质数、合数
质数的定义：只有1和它本身两个正因数的自然数；合数的定义：大于1的整数，除了1和自身外还有其他正因数。
逐个判断：
1. 17：仅能被1和17整除，没有其他因数，属于质数；
2. 84：是大于2的偶数，能被2、3等数整除，属于合数；
3. 57：各位数字和为5+7=12，12能被3整除，57=3×19，除1和57外还有因数3、19，属于合数；
4. 41：仅能被1和41整除，没有其他因数，属于质数；
5. 98：是大于2的偶数，能被2、7等数整除，属于合数；
6. 130：是大于2的偶数，能被2、5等数整除，属于合数。
第二步：对合数分解质因数，使用短除法从最小质因数开始除，直到最终商为质数，将所有除数和最终的质数商相乘即可：
1. 分解84：84÷2=42，42÷2=21，21÷3=7，7是质数，因此84=2×2×3×7；
2. 分解57：57不能被2整除，57÷3=19，19是质数，因此57=3×19；
3. 分解98：98÷2=49，49÷7=7，7是质数，因此98=2×7×7；
4. 分解130：130÷2=65，65÷5=13，13是质数，因此130=2×5×13。
【答案】
质数:17,41
合数:84,57,98,130
84=2×2×3×7
57=3×19
98=2×7×7
130=2×5×13
【知识点】
质数判定，合数判定，分解质因数
【点评】
本题是数论部分的基础题型，核心考察对质数、合数概念的掌握，以及分解质因数的基本方法，易错点是容易误将57判定为质数，解题时可以借助2、3、5的倍数特征快速排查合数，分解质因数后可以反向相乘验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8
【分析】
我们要解决这个同时是3和5的倍数的四位数求最值的问题，第一步先回忆5的倍数的特征，先确定个位的可能取值：5的倍数个位只能是0或者5，缩小可选范围。第二步要找最小的四位数，就要优先让最高位（千位）尽可能小，千位最小从1开始尝试，结合3的倍数要求（所有数位上的数字之和是3的倍数）验证，找到符合条件的最小组合。第三步要找最大的四位数，就优先让千位尽可能大，从最大的一位数9开始尝试，同样结合3的倍数的要求验证，就能得到最大的符合条件的数。
【解析】
1. 先根据5的倍数的特征，确定这个四位数的个位只能是0或者5。
2. 求最小的四位数：
四位数的千位不能为0，要让数最小，千位要尽可能取最小的正整数，先试千位为1：
若个位取0，各位数字和为1+3+6+0=10，10不是3的倍数，不符合要求；
若个位取5，各位数字和为1+3+6+5=15，15是3的倍数，符合要求，得到数1365，这就是满足条件的最小四位数。
3. 求最大的四位数：
要让数最大，千位要尽可能取最大的一位数9：
若个位取0，各位数字和为9+3+6+0=18，18是3的倍数，符合要求，得到数9360；
若个位取5，各位数字和为9+3+6+5=23，23不是3的倍数，不符合要求，因此9360就是满足条件的最大四位数。
【答案】
1365 9360
【知识点】
3的倍数特征，5的倍数特征
【点评】
本题是对3、5倍数特征知识点的基础应用，解题核心思路是求数的最值时优先保证高位的取值符合最值要求，再结合倍数的限制条件筛选，避免盲目枚举，同时要注意四位数的千位不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们可以分三步逐个推导三个空：
1. 先解决第一个空：回忆2的倍数的特征，个位数字只能是0、2、4、6、8，从这几个数字里选出最小的，就能得到第一空的结果。
2. 再解决第二个空：要同时是2和3的倍数，首先先按照2的倍数的特征，把个位的可选范围缩小到0、2、4、6、8，再结合3的倍数的特征：所有数位上的数字之和能被3整除，先算出已知的两个数位的和9+8=17，再看17加上可选的个位数字后，哪个和能被3整除，就能筛选出正确答案。
3. 最后解决第三个空：回忆同时是2和5的倍数的数的特征，个位必须是0，直接就能得到结果。
【解析】
1. 求仅为2的倍数时□的最小取值：
2的倍数的个位数字只能是0、2、4、6、8，其中最小的数字是0，因此第一空填0。
2. 求同时为2和3的倍数时□的取值：
已知百位数字9加十位数字8的和为17，首先满足2的倍数的个位可选值为0、2、4、6、8：
17+0=17，17不能被3整除，不符合要求；
17+2=19，19不能被3整除，不符合要求；
17+4=21，21能被3整除，符合要求；
17+6=23，23不能被3整除，不符合要求；
17+8=25，25不能被3整除，不符合要求；
因此第二空填4。
3. 求同时为2和5的倍数时□的取值：
同时是2和5的倍数的数，个位数字必须为0，因此第三空填0。
【答案】
0 4 0
【知识点】
2的倍数特征，3的倍数特征，2和5的倍数特征
【点评】
本题是2、3、5倍数特征的基础应用题，解题时遇到需要同时满足多个倍数要求的情况，可以先从可选范围更小的特征入手缩小筛选区间，再叠加其余条件验证，能有效避免出错。
【难度系数】
0.8
【分析】
这道题的解题思路非常清晰，我们可以分两步走：第一步先根据数学概念，把题目里所有特殊描述对应的数字先推导出来：先回忆什么是最小的质数、最小的合数、既不是质数也不是合数的数、最小的自然数，分别得到对应数值；第二步对照九位数的数位顺序表，把对应数字填到指定的数位上，其余数位补0，最后数一遍总位数确认是9位就可以得到结果。
【解析】
解：
1. 推导各个特殊数的取值：
① 质数是大于1的自然数中，除了1和自身外没有其他因数的数，最小的质数是2，因此亿位上的数字为2；
② 合数是大于1的自然数中，除了1和自身外还有其他因数的数，最小的合数是4，因此百万位上的数字为4；
③ 数字1只有1个因数，既不符合质数定义也不符合合数定义，因此既不是质数也不是合数的数是1，千位上的数字为1；
④ 最小的自然数是0，因此其余所有数位的数字都为0。
2. 对照九位数的数位顺序（从高到低：亿位、千万位、百万位、十万位、万位、千位、百位、十位、个位）依次填入数字，得到的数为204001000。
【答案】
204001000
【知识点】
质数与合数，数位顺序表，自然数概念
【点评】
本题结合天文常识跨学科出题，属于数的认识板块的基础题型，易错点集中在记错特殊数的取值、数错数位漏写中间的0，做完后可以核对总位数为9位，再逐一核对指定数位的数字是否符合要求，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们可以按照题目给出的四位数字的限定条件，逐个推导每一位的数字：首先回忆质数的定义找到第一位数字，再根据因数和倍数的性质推导第二位数字，接着结合合数的范围要求得到第三位数字，最后根据奇数的定义确定第四位数字，将四个数字按从左到右的顺序拼接，就能得到最终的四位验证码。
【解析】
我们逐位推导验证码的每一位：
1. 第一位数字：质数是指大于1，除了1和自身外没有其他正因数的自然数，最小的质数是2；
2. 第二位数字：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此既是3的倍数又是3的因数的数就是3；
3. 第三位数字：合数是指大于1，除了1和自身外还有其他正因数的自然数，10以内的合数有4、6、8、9，其中最大的合数是9；
4. 第四位数字：不能被2整除的整数是奇数，最小的奇数是1。
将四位数字按从左到右的顺序组合，得到验证码为2391。
【答案】
2391
【知识点】
质数的概念，因数与倍数，合数与奇数
【点评】
本题属于数的分类相关的基础概念应用题，核心考察学生对质数、合数、因数倍数、奇数这些基础数论概念的准确记忆，容易出错的点是混淆特殊数字的属性，比如误将1认作质数，或是错把10以内最大合数记为8，完成本题可以很好地巩固数的分类相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
【分析】
这道题是用因数知识解决生活中的平均分问题，我们可以按如下思路思考：题目要求把20个苹果分成至少2堆，每堆数量相同且每堆至少2个，说明总苹果数=堆数×每堆苹果数，因此堆数和每堆苹果数都必须是20的正因数。第一步先完整列举出20的所有正因数，第二步对照题目的两个限制条件：①堆数≥2；②每堆苹果数≥2，把不符合要求的组合排除，剩下的合法组合就是所有符合要求的分法，最后统计数量逐一列举即可。
【解析】
步骤1：列举20的所有正因数
20的因数有：1、2、4、5、10、20，共6个。
步骤2：根据题目约束筛选合法分法
将因数两两配对为（堆数，每堆苹果数），对照条件筛选：
配对(1,20)：堆数为1，不符合“至少分2堆”的要求，排除；
配对(20,1)：每堆苹果数为1，不符合“每堆至少2个”的要求，排除；
剩余的合法配对共4组：(2,10)、(4,5)、(5,4)、(10,2)。
步骤3：对应写出所有分法
① 平均分成2堆，每堆10个苹果；
② 平均分成4堆，每堆5个苹果；
③ 平均分成5堆，每堆4个苹果；
④ 平均分成10堆，每堆2个苹果。
【答案】
有4种分法，分别是：①平均分成2堆，每堆10个苹果；②平均分成4堆，每堆5个苹果；③平均分成5堆，每堆4个苹果；④平均分成10堆，每堆2个苹果。
【知识点】
因数的认识，平均分实际应用
【点评】
本题结合生活场景考察因数的实际运用，解题核心是明确平均分的两个参数（堆数、每堆数量）都是总数量的因数，容易出错的点是忽略题目给出的“至少2堆”“每堆至少2个”的限制条件，误将1堆20个、20堆每堆1个算入分法，解题时要注意逐一核对约束条件筛选结果。
【难度系数】
0.7
【分析】
这道题属于规则应用型题目，解题思路非常清晰：首先完全理解题干给出的13的倍数判定新规则，不需要调用课外储备的相关知识，直接套用规则即可。第一步，对每个待判断的自然数，先拆分出两个部分：第一部分是它的末三位数字组成的数，第二部分是末三位之前所有数字组成的数；第二步，计算这两个数的差；第三步，验证这个差是否是13的倍数，若差是13的倍数则原数是13的倍数，反之则不是。按照这个步骤分别对3253和254514两个数依次计算判断即可得到结果。
【解析】
1. 判断3253：
3253是四位数，它的末三位数字是2、5、3，组成的数为253；末三位以前的数字仅剩下千位的3，组成的数为3。
计算两数的差：$253 - 3 = 250$
验证250是否为13的倍数：$250÷13=19······3$，计算有余数，说明250不是13的倍数，因此3253不是13的倍数。
2. 判断254514：
254514是六位数，它的末三位数字是5、1、4，组成的数为514；末三位以前的数字是前三位2、5、4，组成的数为254。
计算两数的差：$514 - 254 = 260$
验证260是否为13的倍数：$260÷13=20$，商为整数没有余数，说明260是13的倍数，因此254514是13的倍数。
【答案】
3253不是13的倍数，254514是13的倍数。理由：253-3=250，250不是13的倍数，因此3253不是13的倍数；514-254=260，260是13的倍数，因此254514是13的倍数。
【知识点】
13的倍数特征，倍数判定
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查学生的信息提取和规则迁移应用能力，题干已经给出完整的判定方法还附带示例，学生只需要认真审题，按照示例的步骤对两个数逐一拆分计算即可得出正确结果，几乎没有知识门槛，能很好地锻炼学生的读题严谨性。
【难度系数】
0.8
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