4和9的最大公因数是1，最小公倍数是36； 18和6的最大公因数是6，最小公倍数是18； 14和21的最大公因数是7，最小公倍数是42。 42和56的最大公因数是14。 (56+42)×2÷14 =98×2÷14 =196÷14 =14(棵) 答：至少要栽14棵。 27和18的最大公因数是9。 27÷9=3(个) 18÷9=2(个) 3+2=5(个) 答：这些粽子最多分给了9家邻居，每家邻居 分得红豆粽和蜜枣粽共5个。
【分析】
这道题的解题逻辑很清晰：首先我们要掌握有序找因数的方法，从1开始一对一对验证能整除目标数的正整数，就能做到不重不漏列出所有因数。第一步先单独列举出16的全部因数，第二步再单独列举出24的全部因数，第三步把两组因数里同时出现的数挑出来，就是二者的公因数，最后在所有公因数里找到数值最大的数，就是两个数的最大公因数。
【解析】
1. 列举16的因数：
从1开始依次验证可整除16的数：16÷1=16，16÷2=8，16÷4=4，后续的数均已重复出现，因此16的因数为1,2,4,8,16。
2. 列举24的因数：
从1开始依次验证可整除24的数：24÷1=24，24÷2=12，24÷3=8，24÷4=6，后续的数均已重复出现，因此24的因数为1,2,3,4,6,8,12,24。
3. 找16和24的公因数：
对比两组因数，同时出现在两个集合中的数是1,2,4,8，即为二者的公因数。
4. 找最大公因数：
在公因数1,2,4,8中，数值最大的数是8，因此16和24的最大公因数是8。
【答案】
1,2,4,8,16；1,2,3,4,6,8,12,24；1,2,4,8；8
【知识点】
因数列举法，公因数，最大公因数
【点评】
本题是数论板块的基础概念题，核心考察对因数、公因数相关定义的掌握，用有序成对列举的方法找因数，就可以避免漏写、多写的错误，这部分知识也是后续学习约分、分数化简的重要前置基础。
【难度系数】
0.9
【分析】
我们首先要明确：一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，只需要写出前若干个符合要求的数后加省略号即可。解题时第一步先通过“数×正整数”的方法分别列举出18和27各自的倍数，第二步从两组倍数里找出同时属于两个集合的数，就是它们的公倍数，第三步在所有公倍数里找到最小的那个数，就是二者的最小公倍数。
【解析】
1. 列举18的倍数：用18依次乘1、2、3、4……等正整数，可得18×1=18，18×2=36，18×3=54，18×4=72，18×5=90……，因此18的倍数有18,36,54,72,90,108……
2. 列举27的倍数：用27依次乘1、2、3、4……等正整数，可得27×1=27，27×2=54，27×3=81，27×4=108……，因此27的倍数有27,54,81,108……
3. 找18和27的公倍数：筛选出同时是18和27的倍数的数，可得54,108……
4. 确定最小公倍数：在所有公倍数中，数值最小的就是二者的最小公倍数，即54。
【答案】
18,36,54,72,90,108…… ；27,54,81,108…… ；54,108…… ；54
【知识点】
倍数的认识；公倍数；最小公倍数
【点评】
本题属于数论部分的基础概念题，核心考察列举法求公倍数与最小公倍数的基础方法，需要注意一个数的倍数是无限的，写出的倍数序列末尾要添加省略号，避免漏写省略号误以为倍数是有限集合的常见错误。
【难度系数】
0.9
【分析】
解题时我们可以先观察每组两个数的特征，优先利用特殊关系快速求解：第一步先判断两个数是否为互质关系（公因数只有1），如果是，直接得到最大公因数为1，最小公倍数为两数乘积；第二步如果不是互质关系，再判断是否为倍数关系（大数是小数的整数倍），如果是，最大公因数就是较小数，最小公倍数就是较大数；如果两种特殊关系都不符合，就用分解质因数的方法，取所有公有质因数的乘积作为最大公因数，公有质因数乘各自独有质因数的乘积作为最小公倍数，按这个思路就能快速算出三组数的结果。
【解析】
1. 对于4和9：
4的因数为1、2、4，9的因数为1、3、9，二者公因数只有1，属于互质关系，因此最大公因数是1，最小公倍数为4×9=36。
2. 对于18和6：
计算可得18÷6=3，即18是6的3倍，二者属于倍数关系，因此最大公因数是较小数6，最小公倍数是较大数18。
3. 对于14和21：
对两个数分解质因数可得14=2×7，21=3×7，二者公有质因数为7，各自独有质因数分别为2和3，因此最大公因数是公有质因数7，最小公倍数为7×2×3=42。
【答案】
4和9的最大公因数是1，最小公倍数是36；18和6的最大公因数是6，最小公倍数是18；14和21的最大公因数是7，最小公倍数是42。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，分解质因数
【点评】
本题属于数论板块的基础常规题，覆盖了互质、倍数、普通有公共质因数三类典型数对，帮助学生熟练掌握不同场景下求最大公因数和最小公倍数的简便技巧，避免低效的枚举法，夯实相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
【分析】
我们首先回忆分解质因数法求两个数最小公倍数的规则：两个数的最小公倍数等于它们所有公有质因数，和各自独有的质因数的乘积。先观察题目给出的甲数和乙数的质因数形式，找出二者的公有质因数和独有质因数，就能写出甲乙两数最小公倍数的表达式，再结合题目给出的最小公倍数是150，建立等式即可求解a，也可以代入选项验证结果是否符合条件。
【解析】
1. 提取公有、独有质因数：甲数=2×3×a，乙数=3×5×a，二者的公有质因数为3和a，甲数独有的质因数是2，乙数独有的质因数是5。
2. 推导最小公倍数表达式：根据分解质因数求最小公倍数的规则，甲乙的最小公倍数=公有质因数乘积×独有质因数乘积=3×a×2×5=30a。
3. 列等式求解：已知甲乙最小公倍数为150，因此30a=150，解得a=150÷30=5。
4. 验证：当a=5时，甲数为30，乙数为75，二者的最小公倍数确实是150，符合题意。
【答案】A
【知识点】分解质因数求最小公倍数，最小公倍数逆向运算
【点评】本题属于最小公倍数的基础逆向应用题，核心是掌握分解质因数法求最小公倍数的计算逻辑，区分公有质因数和独有质因数即可快速推导，也可直接将选项代入题干逐一验证排除错项，进一步降低解题难度。
【难度系数】0.7
【分析】
首先观察题图的集合包含关系：代表甲的因数的椭圆完全处于代表乙的因数的椭圆内部，说明甲数的所有因数都是乙数的因数，由此可以推出甲数本身就是乙数的因数，乙数是甲数的倍数。接下来回忆两个非零自然数成倍数关系时的最大公因数规律：两个数如果是倍数关系，它们的最大公因数是其中更小的那个数，也就是甲数，据此就能选出正确选项。
【解析】
解：
1. 从题图的包含关系可得：甲的全部因数都是乙的因数，因此甲数是乙数的因数，乙数是甲数的倍数。
2. 根据倍数关系下两个非零自然数的最大公因数性质：若两个数成倍数关系，它们的最大公因数是两数中的较小数。本题中甲数小于乙数，因此甲乙两数的最大公因数是甲数。
所以答案选A。
【答案】A
【知识点】因数的意义，倍数关系的最大公因数
【点评】本题借助韦恩图直观呈现两个数的因数的包含关系，核心考察倍数关系下最大公因数的规律应用，解题的关键是先通过集合的包含关系判断出甲乙两数的倍数从属关系，再代入对应性质即可快速得到结果，能够帮助学生深化对因数、最大公因数概念的理解。
【难度系数】0.8
【分析】
我们可以按照题目给出的三个限定条件逐步筛选选项，解题思路如下：第一步先明确题目要求的三个条件：①两个数都是合数；②两个数公因数只有1（即互质）；③最小公倍数是120。我们可以逐个对选项按条件排查，先排除不满足“都是合数”的选项，再排除不满足“公因数只有1”的选项，最后验证剩余选项的最小公倍数是否为120，就能快速得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析四个选项：
1. 分析选项A：12和10
两个数都是合数，但12和10的公因数有1、2，不满足“公因数只有1”的要求，且二者最小公倍数为60，不符合题意，排除。
2. 分析选项B：5和24
其中5是质数，不满足“两个数都是合数”的要求，直接排除。
3. 分析选项C：4和30
两个数都是合数，但4和30的公因数有1、2，不满足“公因数只有1”的要求，且二者最小公倍数为60，不符合题意，排除。
4. 分析选项D：8和15
8和15都是合数，8的因数为1、2、4、8，15的因数为1、3、5、15，二者公因数只有1，互质；互质的两个数最小公倍数等于两数乘积，8×15=120，完全符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
合数判断，互质数性质，最小公倍数计算
【点评】
本题属于数论基础综合题，采用逐项排除法即可快速求解，解题时需要注意不要遗漏题目给出的全部限定条件，避免误选仅满足部分条件的错误选项，比如选项B容易被忽略“5是质数”的陷阱。
【难度系数】
0.7
【分析】
这道题需要我们逐个验证4个说法的正误，统计正确说法的总个数后匹配选项。解题思路非常清晰：我们可以结合因数倍数相关的基础定义，逐一排查每一个表述是否符合数学规则：第一步先验证分解质因数的表述是否合规，第二步判断两个质数的公因数相关结论是否成立，第三步计算26和78的最大公因数验证第三个说法，第四步结合特殊例子判断最小公倍数和两个数的大小关系，最后数出正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断4个说法的对错：
1. 验证①：分解质因数的要求是把合数写成若干个质数相乘的形式，对88做分解：88÷2=44，44÷2=22，22÷2=11，11是质数，因此88=2×2×2×11，该表述正确。
2. 验证②：质数的因数只有1和它本身，任意两个质数的公因数至少有1，并非没有公因数，该表述错误。
3. 验证③：26和78是倍数关系，78=26×3，两个数为倍数关系时最大公因数是较小数，也就是26，并非13，该表述错误。
4. 验证④：当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数等于较大的数，比如2和4的最小公倍数是4，并不比两个数都大，该表述错误。
综上4个说法里只有1个是正确的。
【答案】
A
【知识点】
分解质因数，最大公因数，最小公倍数
【点评】
本题属于因数倍数章节的基础概念辨析题，易错点集中在忽略“1是所有非0自然数的公因数”、倍数关系下最大公因数和最小公倍数的特殊性质，同学们遇到这类判断题可以通过举反例的方式快速验证错误表述，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
【分析】
要实现栽树总棵数最少的目标，首先我们知道栽树的总路线是长方形水池的周长，周长是固定值，总棵数=总路线长度÷相邻两棵树的间距，要让总棵数最小，就需要相邻树的间距尽可能大。同时题目要求四个角都必须栽树，说明间距需要同时整除长方形的长56m和宽42m，也就是间距是56和42的公因数，符合要求的最大间距就是两个数的最大公因数。算出最大间距后，本题属于封闭路线的植树问题，栽树的棵数等于间隔数，直接用周长除以最大间距就能得到最少的栽树数量。
【解析】
1. 求56和42的最大公因数：
将两个数分解质因数：$56=2×2×2×7$，$42=2×3×7$，因此二者的最大公因数为$2×7=14$，即相邻两棵树的最大等间距为14m。
2. 计算长方形水池的周长：
根据长方形周长公式$C=(长+宽)×2$，代入数值可得：
$C=(56+42)×2=196\ \mathrm{m}$
3. 计算最少栽树棵数：
封闭路线植树问题中，栽树棵数=总长度÷间距，代入数值可得：
$196÷14=14$（棵）
【答案】14棵
【知识点】
最大公因数，封闭植树问题，长方形周长
【点评】
本题将最大公因数计算和封闭路线植树知识点结合考察，核心是逆向推导“最少栽树棵数”等价于“最大等间距”，同时要注意封闭图形植树的特点：树的棵数等于间隔数，不需要额外加1，避免和两端都栽的开放植树问题混淆。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先读题梳理条件：要把27个红豆粽、18个蜜枣粽都平均分给相同的几家邻居，分配后两种粽子都没有剩余，还要求分配的邻居数量最多。首先要明确，符合要求的邻居数必须同时是27和18的因数，也就是两个数的公因数，要取最大的符合条件的数，本质就是求27和18的最大公因数。得到最多的邻居数之后，再分别用两种粽子的总数量除以邻居数，算出每家分到的红豆粽、蜜枣粽的数量，相加就能得到每家分得的粽子总数量。
【解析】
1. 求最多可分配的邻居数
要让27个红豆粽、18个蜜枣粽都能平均分配且无剩余，邻居数需要同时整除27和18，题目要求最多的邻居数，因此计算27和18的最大公因数：
分解质因数可得27=3×3×3，18=2×3×3，因此两者的最大公因数为3×3=9。
2. 计算每家分得的单种粽子数量
每家分得红豆粽的数量：27÷9=3（个）
每家分得蜜枣粽的数量：18÷9=2（个）
3. 计算每家分得的粽子总数量
将两种粽子数量相加：3+2=5（个）
【答案】这些粽子最多分给了9家邻居，每家邻居分得红豆粽和蜜枣粽共5个。
【知识点】最大公因数应用，平均分计算
【点评】本题结合端午食粽的传统文化情境设计题目，将数学知识和生活实际场景结合，解题核心是把“同时平均分无剩余、求最多分配份数”的实际问题转化为求两个数最大公因数的数学问题，既考察了学生对最大公因数知识点的掌握，也引导学生用数学思维解决生活中的分配问题。
【难度系数】0.8
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