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48
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16
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72
63
B
B
C
b
a
ab
1
72
3和5的最小公倍数是15。
15×3+1=46(颗)
答：楠楠家煮了46颗汤圆。
公倍数
4,8,12……
3,6,9,
12,15……
12,24,…
12
12
12
144
最小公倍数
【分析】
我们可以分三步来完成这道维恩图填写题：第一步，先根据倍数的定义，依次用4乘1、2、3……，找出所有50以内4的倍数；第二步，同样用5乘1、2、3……，找出所有50以内5的倍数；第三步，从两组倍数里筛选出同时是4和5的倍数的数，也就是两个数的公倍数，放在两个椭圆重叠的区域，剩下的仅属于4的倍数的数放在左侧椭圆非重叠区域，仅属于5的倍数的数放在右侧椭圆非重叠区域，这样就能完成填写了。
【解析】
1. 计算50以内4的所有倍数：
4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16，4×5=20，4×6=24，4×7=28，4×8=32，4×9=36，4×10=40，4×11=44，4×12=48，其中4×13=52＞50，停止计算。
剔除其中同时是5的倍数的20、40，左侧非重叠区域填入：4、8、12、16、24、28、32、36、44、48。
2. 计算50以内5的所有倍数：
5×1=5，5×2=10，5×3=15，5×4=20，5×5=25，5×6=30，5×7=35，5×8=40，5×9=45，5×10=50，其中5×11=55＞50，停止计算。
剔除其中同时是4的倍数的20、40，右侧非重叠区域填入：5、10、15、25、30、35、45、50。
3. 两个集合共有的数也就是50以内4和5的公倍数，填入中间重叠区域：20、40。
【答案】

50以内4的倍数：4、8、12、16、24、28、32、36、44、48
50以内5的倍数：5、10、15、25、30、35、45、50
50以内4和5的公倍数：20、40
【知识点】
找数的倍数；公倍数概念；维恩图分类
【点评】
本题通过维恩图的形式直观区分了两个数各自的倍数和它们的公倍数，帮助学生理清倍数和公倍数的从属关系，解题时要注意不要漏写符合条件的数，也不要将重叠区域的公倍数重复填写在两侧的独立区域中，同时注意取值范围不能超过50。
【难度系数】
0.8
【分析】
我们可以先对每组数的关系做判断，结合对应规律快速求解最小公倍数：首先分三类情况处理，第一类如果两个数是互质数（公因数只有1），它们的最小公倍数就是两数的乘积；第二类如果两个数存在倍数关系，那么较大的数就是它们的最小公倍数；剩下既不互质也没有倍数关系的数组，用短除法将公有质因数和各自独有质因数相乘，就能得到最小公倍数，按这个思路逐个计算效率高且不容易出错。
【解析】
我们逐个计算每组数的最小公倍数：
1. 12和16：用短除法，先同时除以公有质因数2得到6和8，再除以公有质因数2得到互质的3和4，最小公倍数=2×2×3×4=48；
2. 10和11：两个数是相邻自然数，公因数只有1，属于互质数，最小公倍数=10×11=110；
3. 1和16：1和任意非零自然数公因数只有1，且16是1的倍数，最小公倍数为较大数16；
4. 3和7：两个都是质数，公因数只有1，属于互质数，最小公倍数=3×7=21；
5. 13和91：91÷13=7，两数是倍数关系，较大数91就是它们的最小公倍数；
6. 15和2：公因数只有1，属于互质数，最小公倍数=15×2=30；
7. 18和24：用短除法，先同时除以公有质因数2得到9和12，再除以公有质因数3得到互质的3和4，最小公倍数=2×3×3×4=72；
8. 9和21：用短除法，先同时除以公有质因数3得到互质的3和7，最小公倍数=3×3×7=63。
【答案】
48、110、16、21、91、30、72、63
【知识点】
求最小公倍数，互质数性质，短除法
【点评】
本题覆盖了求最小公倍数的三类典型场景，分别是互质数组、倍数关系数组、普通非特殊关系数组，帮助学生区分不同数组的计算技巧，避免统一使用短除法的繁琐操作，夯实最小公倍数相关的基础计算能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
这道题的核心是先把给出的小数除法关系转化为两个自然数的整数倍数关系，再利用特殊关系下最小公倍数的结论解题。首先已知m、n都是正自然数，m÷n=0.1，我们可以先对等式做变形，得到n和m的整数倍关系，判断出二者是倍数关系后，回忆规律：当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，对比选项就能得到正确结果。
【解析】
第一步：对已知等式变形，推导m和n的关系
已知$m÷ n=0.1$，等式两边同时乘以$n$，可得$m=0.1n$，进一步整理得到$n=10m$，说明$n$是$m$的10倍，即$n$能被$m$整除，$m$和$n$成整数倍数关系。
第二步：应用倍数关系下的最小公倍数规律
当两个非零自然数成倍数关系时，它们的最小公倍数是其中较大的那个数，本题中$n=10m$，$n＞m$，因此$m$和$n$的最小公倍数是$n$。
所以本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 倍数关系判定
2. 最小公倍数性质
【点评】
本题属于最小公倍数相关的基础题型，易错点是部分同学看到商为0.1就误判两数互质，错选C选项。解题的关键是先将带小数的除法关系转化为整数倍关系，再直接套用倍数关系下最小公倍数的结论即可，能有效考察学生对特殊情况最小公倍数求法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
【分析】
我们可以按照以下思路解题：首先观察题目给出的m、n的质因数相乘形式，回忆求最小公倍数的规则，用质因数分解法求最小公倍数时，需要把两个数公有的全部质因数，加上各自独有的质因数相乘，得到的乘积就是最小公倍数。先找出m和n公有的质因数，再找出各自独有的质因数，相乘就能得到结果；也可以先算出m、n的具体数值，判断二者的倍数关系，当两个数是倍数关系时，最小公倍数就是较大的数，也能快速得到答案。
【解析】
步骤1：整理m、n的质因数构成
已知$m=2×5$，$n=3×2×5$，可以算出$m=10$，$n=30$。
步骤2：计算最小公倍数
方法1（质因数分解法）：m和n公有的质因数是2和5，n独有的质因数是3，因此最小公倍数为公有质因数乘独有质因数，即$2×5×3=30$。
方法2（倍数关系法）：可以看到30是10的3倍，两个数为倍数关系时，最小公倍数是其中较大的数，也就是30。
因此m和n的最小公倍数是30，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
1. 最小公倍数计算
2. 质因数分解法
【点评】
本题是非常基础的最小公倍数计算题，既可以用质因数分解的方法直接计算，也可以通过判断两个数的倍数关系快速得到结果，核心考察对最小公倍数基础求法的掌握，不容易出现错误。
【难度系数】
0.9
【分析】
这道题的核心是找两人再次同天参加训练的最早日期，解题思路可以按三步走：
1. 先明确：小林的训练周期是6天，小红是4天，要两人同时去，间隔的天数必须同时是6和4的倍数，要找最早相遇的时间，就需要求6和4的最小公倍数，也就是满足条件的最小间隔天数。
2. 计算出最小公倍数后，从7月31日往后累加这个天数，就能得到对应的日期，再匹配选项即可。
3. 这里要注意7月是大月，7月31日之后的第一天就是8月1日，直接往后数对应天数就可以。
【解析】
第一步：求6和4的最小公倍数
对两个数分解质因数：$6=2×3$，$4=2×2$，最小公倍数等于两个数所有质因数的最高次幂的乘积，即$2×2×3=12$，也就是说两人再过12天会再次同时参加训练。
第二步：推算日期
已知7月31日两人同时训练，往后数12天，7月当月没有剩余日期，直接进入8月，得到的日期就是8月12日。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
最小公倍数求解，日期推算
【点评】
这是最小公倍数在生活场景中的典型应用题，解题的关键是理解“再次相遇”的隐含要求是取两个周期的最小公倍数，部分同学容易混淆最小公倍数和最大公因数的概念错选其他选项，同时要注意区分7月是大月有31天，不需要做多余的跨月减法计算。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先我们从题目给出的已知条件出发，已知a、b都是非零自然数，且$a÷2=b$，先把这个除法等式变形得到$a=2b$，也就是a是b的2倍，说明a和b属于倍数关系。接下来只需要回忆两个非零自然数为倍数关系时，最大公因数和最小公倍数的对应规律，就可以直接推导结果，不需要额外用短除法计算。
【解析】
解：
1. 推导两数关系：已知a、b均为非零自然数，由$a÷2=b$可变形得到$a=2b$，即a是b的2倍，说明a和b是倍数关系，其中a是较大数，b是较小数。
2. 套用对应性质：当两个非零自然数为倍数关系时，它们的最大公因数是两数中较小的数，最小公倍数是两数中较大的数。
因此a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
【答案】
b；a
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，倍数关系性质
【点评】
本题是因数倍数单元的基础题型，核心考察倍数关系下两数的最大公因数、最小公倍数的规律应用，解题关键是先通过等式判断出两数的倍数关系，部分同学容易混淆规律把结果写反，记忆时可以明确：倍数关系中，小数是两数的最大公因数，大数是两数的最小公倍数。
【难度系数】
0.9
【分析】
我们可以按两步思路来解题：第一步先判断两个连续自然数的关系，先举几个实例比如2和3、5和6，找它们的公共因数，会发现除了1之外没有其他共同因数，说明连续自然数是互质的关系；第二步回忆互质的数的最大公因数、最小公倍数的规律，也可以通过“两数乘积=最大公因数×最小公倍数”的公式推导，就能直接得到结果。
【解析】
解：已知a和b是两个连续的自然数，两数的差值为1，不存在大于1的公共因数，因此a和b属于互质关系：
1. 互质的两个数仅有的公共因数是1，因此它们的最大公因数是1；
2. 互质的两个数的最小公倍数等于两数的乘积，因此a和b的最小公倍数是a×b=ab。
【答案】
ab；1
【知识点】
互质数判定，最大公因数，最小公倍数
【点评】
本题是数论板块的基础题，核心考察相邻连续自然数的互质特性，学生也可以代入具体的数值举例验证结论，不需要复杂运算，牢记互质两数的公因数、公倍数规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先我们先提取题目中的关键条件：①灯笼总数不超过100个；②9个9个地数刚好数完，说明总数是9的倍数；③12个12个地数刚好数完，说明总数也是12的倍数。由此可知灯笼总数是9和12的公倍数，我们只需要找出不超过100的所有9和12的公倍数，取其中最大的数，就能得到答案。
【解析】
第一步：先求9和12的最小公倍数，对两个数分解质因数：
$9 = 3×3$
$12 = 2×2×3$
两个数的最小公倍数取各质因数的最高次幂相乘：$2^2×3^2 = 4×9 = 36$
第二步：9和12的所有公倍数都是最小公倍数36的倍数，依次为36、72、108、144……
第三步：结合灯笼总数不超过100的条件，108已经大于100，不符合要求，因此符合条件的最大数是72。
【答案】
72
【知识点】
公倍数，最小公倍数应用
【点评】
本题以元旦挂灯笼的传统文化情境为载体，本质是公倍数的实际应用问题，解题核心是先根据“正好数完”的条件判断出灯笼总数是两个数的公倍数，再结合总数的上限筛选出最大的符合要求的数值，部分同学容易直接取最小公倍数36作为答案，忽略了要找范围内最大数的要求。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们先对题目给出的两个计数条件做等价转化：3颗3颗地数少2颗，说明补上2颗就刚好能被3整除，反过来推导就是按3颗分组数完后会多出来1颗；同理5颗5颗地数少4颗，补上4颗就刚好能被5整除，也就是按5颗分组数完后也多1颗。这就说明汤圆总数量减去1之后，得到的数既能被3整除也能被5整除，也就是这个数是3和5的公倍数。接下来我们先求出3和5的最小公倍数，再筛选出40~50区间内符合要求的公倍数，最后加1就能得到汤圆的总数。
【解析】
1. 条件转化
3颗3颗数少2颗 → 汤圆总数除以3余1；
5颗5颗数少4颗 → 汤圆总数除以5余1；
可得：汤圆总数 - 1 同时是3和5的倍数。
2. 求3和5的最小公倍数
3和5是互质数，二者的最小公倍数为：3×5=15。
3. 筛选指定范围内的公倍数
15的倍数有15、30、45、60……，其中落在40~50之间的只有45。
4. 计算汤圆总数
汤圆总数 = 45 + 1 = 46（颗）
【答案】46颗
【知识点】
公倍数，最小公倍数，数的整除
【点评】
本题结合元宵节传统文化情境出题，核心是把“少几颗”的计数条件转化为“多相同余数”的同余问题，将实际场景转化为公倍数求解问题，再结合给定的数量范围筛选最终结果，难度适中，能有效锻炼学生的条件转化和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们首先要明确用给定长方形拼正方形的核心要求：正方形的边长必须同时能被长方形的长、宽整除，才能保证拼接时无空隙、不重叠。要使用的长方形数量最少，就需要正方形的边长尽可能小，因此这个边长必然同时是长和宽的公倍数，最小的符合要求的边长就是长和宽的最小公倍数。接下来我们可以先分别列举出长4、宽3各自的倍数，找出它们的公倍数确定最小边长，之后分别计算沿边长方向能摆多少个长方形的长、多少排长方形的宽，两者相乘得到总个数，最后代入正方形面积公式算出面积即可。
【解析】
1. 拼接特征推导：要让长方形无重叠无空隙拼成正方形，正方形的边长必须同时是长方形长的倍数、也是宽的倍数，也就是长和宽的公倍数。
2. 列举倍数验证：
4的倍数有4,8,12……；3的倍数有3,6,9,12,15……；
两者的公倍数有12,24,…，其中最小的是12，因此拼成的最小正方形边长是12厘米。
3. 计算所需长方形数量：
沿边长方向每行可摆放长方形：12÷4=3（个）
总共需要摆放的行数：12÷3=4（行）
总个数：3×4=12（个）
4. 计算正方形面积：12×12=144（平方厘米）
5. 规律总结：把若干个小长方形拼成一个大的正方形，正方形的边长最小是长方形的长和宽的最小公倍数。
【答案】
公倍数；4,8,12……；3,6,9,12,15……；12,24,…；12；12；12；144；最小公倍数
【知识点】
公倍数；最小公倍数应用；正方形面积计算
【点评】
本题属于几何拼接结合数论的探究类新考法题目，通过分步引导的形式让学生自主推导拼接逻辑，既巩固了倍数、公倍数的基础概念，也让学生理解这类图形拼接问题的核心原理，避免机械套用公式，能有效锻炼学生的推导探究能力。
【难度系数】
0.7
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