第57页 - 江苏版实验班提优训练数学五年级上下册答案

6

2

3

8

9

3

4

A

B

C

40和32的最大公因数是8。

40÷8+32÷8

=5+4

=9(段)

答：每小段最长是8厘米，一共可以剪成9段。

√

(300÷60)×(240÷60)

=5×4

=20(块)

答：至少需要20块这样的地砖。

【分析】
我们可以按照三步思路来解题：第一步，用一对一对配对相乘的方法，分别找出12和18的全部因数，避免漏写或者重复写因数；第二步，区分三类数：仅属于12的因数、仅属于18的因数、两个数共有的公因数，分别填入韦恩图对应的区域；第三步，从所有公因数里选出数值最大的数，就是两个数的最大公因数。
【解析】
1. 列举12的全部因数：
通过乘积配对可得：1×12=12，2×6=12，3×4=12，因此12的因数为1、2、3、4、6、12。
2. 列举18的全部因数：
通过乘积配对可得：1×18=18，2×9=18，3×6=18，因此18的因数为1、2、3、6、9、18。
3. 分类填入韦恩图：
左侧椭圆不重叠区域（仅属于12的因数）：填入4、12
两个椭圆重叠区域（12和18的公因数）：填入1、2、3、6
右侧椭圆不重叠区域（仅属于18的因数）：填入9、18
4. 找出最大公因数：在公因数1、2、3、6中，最大的数是6，因此12和18的最大公因数是6。
【答案】
填图见

12和18的最大公因数是6
【知识点】
找因数，公因数，最大公因数
【点评】
本题借助韦恩图直观呈现两个数的因数从属关系，帮助学生清晰区分单个数字的独有因数和两个数的公共因数，夯实最大公因数的概念基础，是公因数相关内容的入门基础题型，解题时注意列举因数要做到不重不漏。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先我们要明确题目的核心要求：两个数的最大公因数是1，也就是这两个数互为互质数。接下来对应三个小问的限定条件逐一思考：第一问要求两个数都是质数，质数本身只有1和自身两个因数，只要选两个不同的质数，它们的公因数就只有1；第二问要求两个数都是合数，我们只需要找两个没有除1之外公共因数的合数即可，避开有相同质因数的合数组合；第三问要求一个是质数一个是合数，只要保证所选的质数不是这个合数的因数，二者的最大公因数就会是1，本题答案不唯一，只要符合对应条件都正确。
【解析】
解：两个数最大公因数为1，说明二者是互质数，结合各小问要求选取符合条件的数即可：
(1) 选取两个不同的质数，例如2和3，2的因数为1、2，3的因数为1、3，最大公因数是1，符合要求；
(2) 选取两个没有公共质因数的合数，例如8和9，8的因数为1、2、4、8，9的因数为1、3、9，最大公因数是1，符合要求；
(3) 选取一个质数、一个合数，且质数不是合数的因数，例如3和4，3的因数为1、3，4的因数为1、2、4，最大公因数是1，符合要求。
【答案】
答案不唯一，示例：(1) 2；3 (2) 8；9 (3) 3；4
【知识点】
互质数，质数定义，合数定义
【点评】
本题属于数论基础概念应用题，开放型设问考察学生对质数、合数、互质数概念的掌握程度，易错点是学生容易误选存在公共因数的组合，比如错选4和6作为两个合数的答案，解题时只需要紧扣“两数互质+对应类别属性”的要求即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9

【分析】
这道题已知A和B都已经分解为质因数相乘的形式，要计算二者的最大公因数，我们可以按照这个思路思考：首先回忆对应规则，当两个数给出质因数分解式时，它们的最大公因数就是全部公有质因数相乘的积。接下来第一步先分别梳理A、B的所有质因数，从中筛选出两个数共有的公有质因数，最后把这些公有质因数相乘得到结果，再匹配选项就能选出正确答案。
【解析】
解：
1. 明确计算规则：两个数的最大公因数，等于这两个数所有公有质因数的乘积。
2. 筛选公有质因数：
已知$A=2×3×7$，质因数为2、3、7；$B=2×5×3$，质因数为2、5、3，二者的公有质因数是2和3。
3. 计算乘积：将公有质因数相乘可得$2×3=6$，因此A和B的最大公因数是6，对应选项A。
【答案】A
【知识点】最大公因数，公有质因数
【点评】本题是基础概念应用题，直接考察已知质因数分解式求最大公因数的方法，只要牢记公有质因数相乘的规则就可以快速求解，注意不要和求最小公倍数的方法混淆，避免误选代表最小公倍数的D选项。
【难度系数】0.9

【分析】
我们拿到题目后，首先根据“两个数的最大公因数是15”这个条件，能判断出这两个数都是15的整数倍，因此可以把两个数表示为15a和15b的形式，其中a、b是正整数。为了保证两数的最大公因数确实是15，a和b必须互质（也就是最大公因数为1），否则两数的最大公因数会大于15。接下来结合两数和为120的条件，代入式子化简就能得到a和b的和，之后枚举所有和为该数值的正整数对，筛选出互质、且对应原自然数不同的组合，统计组数即可得到答案。
【解析】
1. 设两个满足条件的自然数分别为15a、15b，其中a、b为正整数，要求gcd(a,b)=1（保证两数最大公因数为15），且a≠b（保证两个自然数不同）。
2. 根据两数之和为120列等式：
$15a + 15b = 120$
等式两边同时除以15，化简得：$a + b = 8$
3. 枚举所有a＜b、和为8的正整数对，逐一验证条件：
a=1，b=7：gcd(1,7)=1，符合要求，对应两数为15×1=15、15×7=105；
a=2，b=6：gcd(2,6)=2≠1，不符合要求，排除；
a=3，b=5：gcd(3,5)=1，符合要求，对应两数为15×3=45、15×5=75；
a=4，b=4：a=b，既不满足两数不同的要求，也不满足互质条件，排除。
最终符合条件的组合共2组。
【答案】B
【知识点】
最大公因数，因数倍数
【点评】
本题考察最大公因数的灵活应用，核心技巧是将带有公共最大公因数的两个数拆解为“公因数+互质整数乘积”的形式，大幅简化计算，枚举过程中要注意排除不互质、两数重复的情况，避免计数错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
这道题不需要知道甲、乙两数的具体数值，核心是利用公因数和最大公因数的关联性质解题。首先要明确规律：两个数的所有公因数，一定是这两个数最大公因数的因数，反过来，最大公因数的全部因数也都是这两个数的公因数。题目已经给出甲乙的最大公因数是18，我们只需要找出18的所有正因数，统计总个数就能得到甲乙的公因数的数量，通过成对枚举的方法列出18的全部因数即可选出答案。
【解析】
解：
1. 确定等价关系：已知甲、乙的最大公因数是18，说明18同时是甲和乙的因数，所有能整除18的数都能同时整除甲和乙，也就是都是甲、乙的公因数；同时甲、乙的公因数不可能大于它们的最大公因数18，因此甲、乙的所有公因数就等价于18的全部因数。
2. 枚举18的所有因数：
按照成对枚举因数的规则：
18 = 1×18
18 = 2×9
18 = 3×6
可得18的因数为：1、2、3、6、9、18，总共有6个。
即甲、乙两数的公因数共有6个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】公因数，最大公因数，因数枚举
【点评】本题是数论板块的基础概念应用题，重点考察对公因数和最大公因数从属关系的理解，不少初学者会误以为需要推导甲、乙的具体取值，实际上利用性质直接枚举最大公因数的因数即可快速得到结果，能帮助学生巩固公因数相关的概念逻辑。
【难度系数】0.7

【分析】
这道题的核心是利用完全平方数的质因数特征求解最小的b。我们首先要明确：如果一个数是整数的平方，那么它分解质因数后，所有质因数的出现次数一定都是偶数。解题思路可以分成两步：第一步先把已知的168做质因数分解，统计每个质因数当前的出现次数；第二步对照完全平方数的要求，把出现次数为奇数的质因数各补1次，让总次数变为偶数，把这些需要补充的质因数相乘，得到的就是满足条件的最小非零自然数b。
【解析】
1. 对168做质因数分解：
逐步拆分可得168 = 2×2×2×3×7，也就是$168=2^3 × 3^1 ×7^1$。
2. 对照完全平方数的性质分析：
要让168×b是完全平方数，乘积里所有质因数的指数都必须是偶数：
质因数2当前指数是3（奇数），至少需要补充1个2，让总指数变为4（偶数）；
质因数3当前指数是1（奇数），至少需要补充1个3，让总指数变为2（偶数）；
质因数7当前指数是1（奇数），至少需要补充1个7，让总指数变为2（偶数）。
3. 计算最小的b：
把需要补充的质因数相乘，可得最小的b=2×3×7=42。
【答案】
C
【知识点】
质因数分解，完全平方数性质
【点评】
本题是数论板块的基础典型题，核心考察完全平方数的质因数指数特征，只要掌握“平方数分解质因数后所有质因数的指数均为偶数”这个规律，就可以快速推导出最小乘数，适合巩固数论基础概念。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先我们要明确用分解质因数法求两个数最大公因数的规则：两个数分解为质因数相乘的形式后，它们的最大公因数等于所有公有质因数的乘积。第一步先找出A和B公有的质因数：A的质因数是2、3、3、k，B的质因数是2、3、5、k，二者共有的质因数是2、3、k；第二步根据题目给出的最大公因数是30，列出公有质因数的乘积等于30的等式，就能解出k的数值。
【解析】
1. 提取A、B的公有质因数：
已知$A=2×3×3×k$，$B=2×3×5×k$，二者公有的质因数为2、3、k，A独有的质因数是3，B独有的质因数是5，这两个独有质因数不参与最大公因数的计算。
2. 列等式计算k：
根据最大公因数的定义，A和B的最大公因数 = 公有质因数的乘积，即：
$2×3×k = 30$
化简得$6k=30$，解得$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
分解质因数求最大公因数
【点评】
本题是最大公因数相关的基础题型，核心考点是掌握分解质因数法求最大公因数的规则，解题时注意不要将两个数各自独有的质因数纳入最大公因数的乘积中，避免误算。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题的核心要求是把两段长度分别为40厘米、32厘米的绸带，截成同样长的小段且没有剩余，还要让每小段尽可能长。我们首先要明确：满足“同时整除40和32、没有剩余”的数是40和32的公因数，而要取最长的小段长度，本质就是求这两个数的最大公因数。得到最大的小段长度后，分别用两段绸带的长度除以每小段的长度，把得到的段数相加，就能算出总共可以剪成的段数。
【解析】
1. 求每小段的最长长度
先分别列举两个数的因数：
40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40
32的因数有：1、2、4、8、16、32
两个数的公因数为1、2、4、8，其中最大的公因数是8，因此每小段最长是8厘米。
2. 计算总段数
40厘米的绸带可剪段数：$40÷8=5$（段）
32厘米的绸带可剪段数：$32÷8=4$（段）
总段数：$5+4=9$（段）
【答案】
每小段最长是8厘米，一共可以剪成9段。
【知识点】
最大公因数，公因数实际应用
【点评】
本题是公因数在生活场景中的典型应用题，解题关键是准确把“截成等长小段无剩余、小段最长”的实际要求，转化为求两个数最大公因数的数学问题，既考察了最大公因数的求解方法，也锻炼了学生用数学知识解决实际问题的应用意识。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先理清核心解题逻辑：第一，正方形地砖能正好铺满长方形地面，说明地砖的边长必须同时是储物间长和宽的公因数；第二，要使用的地砖总块数最少，就需要单块地砖的面积尽可能大，也就是地砖的边长要取长和宽的最大公因数。接下来先求出300cm和240cm的最大公因数，对比给出的3种地砖规格选出符合要求的地砖，之后分别计算长、宽方向各能铺多少块地砖，相乘即可得到总块数。
【解析】
(1) 求300和240的最大公因数：
分解质因数可得：$300=2×2×3×5×5$，$240=2×2×2×2×3×5$，两者的最大公因数为$2×2×3×5=60$。
对比三种地砖边长30cm、60cm、80cm，60cm是300和240的最大公因数，选择边长60cm的地砖既能正好铺满，单块面积最大，总使用块数最少，因此在60cm下方的括号画√。
(2) 计算长方向可铺地砖数量：$300÷60=5$（块）
计算宽方向可铺地砖数量：$240÷60=4$（块）
总地砖数量：$5×4=20$（块）
列综合算式：$(300÷60)×(240÷60)=20$（块）
【答案】
(1)( ) (√) ( )；(2)20块
【知识点】
最大公因数应用，铺砖问题
【点评】
本题结合生活中的铺地砖实际场景出题，核心考察最大公因数的实际应用，解题关键是把“正好铺满且块数最少”的生活要求转化为求长和宽的最大公因数的数学问题，避免了无意义的试算，能有效锻炼学生用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7