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是
170
8
1
19



8×(28-1)=216(米)
8和12的最小公倍数是24
216÷24+1=10(棵)
答：不需要移动的树共有10棵。
36
35和14的最大公因数是7
(35+14)×2÷7=14(个)
答：泳池边一共放置了14个防滑垫。
【分析】
这是一道结合趣味数概念的新定义题型，解题的核心是先准确抓住哈沙德数的判定规则：非0自然数的各数位数字之和是这个数本身的因数，就属于哈沙德数。第(1)问判断2025是否为哈沙德数，只需要分两步走：第一步先算出2025所有数位的数字相加的总和，第二步验证这个总和是不是2025的因数，也就是判断2025能不能被这个总和整除，就能得出结果。第(2)问要推翻“个位是0的数都是哈沙德数”的结论，只需要在50~200的范围内找到一个个位为0、且各数位数字之和不是它本身因数的数即可，我们可以先列出范围内个位为0的数，逐个验证数位和能否整除原数，就能找到符合要求的反例。
【解析】
(1) 先计算2025的各数位数字之和：$2+0+2+5=9$，再验证9是否为2025的因数：$2025÷9=225$，计算结果是整数且没有余数，说明9是2025的因数，完全符合哈沙德数的定义，因此2025是哈沙德数。
(2) 选取反例170：首先170的个位是0，满足王丽猜测的前提条件，计算它的各数位数字之和：$1+7+0=8$，验证8是否为170的因数：$170÷8=21.25$，商不是整数，说明8不是170的因数，因此170不属于哈沙德数，就可以证明王丽的猜测是错误的，符合要求的数不唯一。
【答案】
(1)是 (2)170（答案不唯一）
【知识点】
因数的认识，新定义数判定
【点评】
本题以趣味的哈沙德数为载体考查因数相关基础知识点，既考查学生对新规则的快速理解能力，也通过举反例证伪的设问锻炼学生的逻辑验证能力和数感，整体设问梯度平缓，能帮助学生跳出机械记背概念的误区，学会用定义判定数的属性。
【难度系数】
0.6
【分析】
要让安排的志愿者数量最少，在赛道总长度固定的前提下，就需要相邻两名志愿者的间距尽可能大。题目要求A、B、C三点都必须安排志愿者，说明这个最大间距需要同时整除AB段的80m和BC段的60m，也就是求80和60的最大公因数。得到最大间距后，该场景属于两端都要设置点位的植树问题，志愿者总人数等于赛道总长度除以间距后再加1，即可算出最少的志愿者数量。
【解析】
1. 求80和60的最大公因数：
分解质因数可得：60=2×2×3×5，80=2×2×2×2×5，因此二者的最大公因数为2×2×5=20，即相邻志愿者的最大间距为20m。
2. 计算赛道总长度：AB段长80m，BC段长60m，总长度为80+60=140m。
3. 代入两端都设点位的公式计算志愿者总数：
总人数 = 总长度÷间距 + 1 = 140÷20 + 1 = 7+1 = 8（名）
【答案】
8
【知识点】
最大公因数应用，两端植树问题
【点评】
本题结合马拉松赛事安排志愿者的实际场景，将最大公因数求解和植树问题知识点结合，解题核心是明确“志愿者数量最少等价于间距取两段赛道长度的最大公因数”，同时注意拐弯处B点的志愿者无需重复计算，也不能忘记加1补上起点点位，避免出现漏算点位的错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：第一步求第2个数，已知第1个数是37，且要求第1个数是第2个数的倍数，说明第2个数是37的正因数。37是质数，它的正因数只有1和37，所有填入的数不能重复，37已经放在第1格，因此第2个数只能是1。第二步求第37个数，先计算1到37所有数的总和，根据题意“前36个数的和是第37个数的倍数”，可以推出所有数的总和也必然是第37个数的倍数，也就是第37个数是总和的因数，对总和分解质因数，排除已经用过的37和1，剩下的符合条件的数就是第37个数。
【解析】
1. 推导第2个空格的数值：
已知第1个数为37，且满足第1个数是第2个数的倍数，因此第2个数是37的正因数。
37是质数，正因数仅有1和37，题目要求所有数不重不漏，37已经填入第1格，因此第2个空格只能填入1。
2. 推导第37个空格的数值：
首先计算1~37所有连续整数的总和：
$S = 1+2+3+\dots+37 = \frac{(1+37)×37}{2} = 703$
设第37个数为$x$，根据题意前36个数的和是$x$的倍数，可记前36个数的和为$k· x$（$k$为正整数），因此总和$S = k· x + x = (k+1)· x$，说明$x$是703的正因数。
对703分解质因数可得：$703 = 19×37$，它的全部正因数为1、19、37、703。
其中1和37已经分别填入第2格和第1格，703不在1~37的取值范围内，因此符合条件的$x$只能是19，即第37个空格填入19。
【答案】
1；19
【知识点】
因数与倍数，等差数列求和，质因数分解
【点评】
本题属于数论推理类题目，不需要推导中间所有空格的数值，核心是利用整体求和的思路，将局部的倍数条件转化为第37个数是所有数总和的因数，大幅简化了推理过程，避免了复杂的分步枚举，重点考察学生的整体化思维能力。
【难度系数】
0.3
【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：第一步求第2个数，已知第1个数是37，且要求第1个数是第2个数的倍数，说明第2个数是37的正因数。37是质数，它的正因数只有1和37，所有填入的数不能重复，37已经放在第1格，因此第2个数只能是1。第二步求第37个数，先计算1到37所有数的总和，根据题意“前36个数的和是第37个数的倍数”，可以推出所有数的总和也必然是第37个数的倍数，也就是第37个数是总和的因数，对总和分解质因数，排除已经用过的37和1，剩下的符合条件的数就是第37个数。
【解析】
1. 推导第2个空格的数值：
已知第1个数为37，且满足第1个数是第2个数的倍数，因此第2个数是37的正因数。
37是质数，正因数仅有1和37，题目要求所有数不重不漏，37已经填入第1格，因此第2个空格只能填入1。
2. 推导第37个空格的数值：
首先计算1~37所有连续整数的总和：
$S = 1+2+3+\dots+37 = \frac{(1+37)×37}{2} = 703$
设第37个数为$x$，根据题意前36个数的和是$x$的倍数，可记前36个数的和为$k· x$（$k$为正整数），因此总和$S = k· x + x = (k+1)· x$，说明$x$是703的正因数。
对703分解质因数可得：$703 = 19×37$，它的全部正因数为1、19、37、703。
其中1和37已经分别填入第2格和第1格，703不在1~37的取值范围内，因此符合条件的$x$只能是19，即第37个空格填入19。
【答案】
1；19
【知识点】
因数与倍数，等差数列求和，质因数分解
【点评】
本题属于数论推理类题目，不需要推导中间所有空格的数值，核心是利用整体求和的思路，将局部的倍数条件转化为第37个数是所有数总和的因数，大幅简化了推理过程，避免了复杂的分步枚举，重点考察学生的整体化思维能力。
【难度系数】
0.3
【分析】
这道题是植树问题与公倍数知识点结合的实际应用题，解题思路可以分三步梳理：1. 首先根据两端都栽的植树规则，算出28棵梧桐树对应的间隔数，乘原间距就能得到整条公路的总长度；2. 不需要移动的树，距离起点的距离必须同时是原间距8米和新间距12米的倍数，也就是两个数的公倍数，我们先求出8和12的最小公倍数，就能知道每隔多少米就有1棵树不需要移动；3. 用公路总长度除以最小公倍数得到符合条件的间隔数，再加上起点本身不动的第1棵树，就能算出所有不需要移动的树的总棵数。
【解析】
步骤1：计算公路总长度
已知两端都有梧桐树共28棵，两端都栽的植树问题中，间隔数=树的总棵数-1，因此总间隔数为28-1=27个。
已知原相邻树间距为8米，因此公路总长度为：
$8×(28-1) = 8×27 = 216$（米）
步骤2：求8和12的最小公倍数
对两个数分解质因数：$8=2×2×2$，$12=2×2×3$，因此二者的最小公倍数为$2×2×2×3=24$，即每隔24米位置的树不需要移动。
步骤3：计算不需要移动的树的总棵数
总长度216米中，间隔为24米的间隔数为$216÷24=9$个，由于起点的树本身不动，树的棵数=间隔数+1，因此不需要移动的树总数为：
$9+1=10$（棵）
【答案】10棵
【知识点】两端植树问题，最小公倍数应用
【点评】本题将植树问题和公倍数知识点结合考察，核心是理解“不需要移动的树的位置是两个间距的公倍数位置”这一逻辑，易错点有两处：一是计算公路总长时忘记两端栽树的间隔数需要用总棵数减1，二是最后计算不动的树的数量时遗漏起点的1棵树，解题时要注意区分间隔数和树的棵数的对应关系。
【难度系数】0.6
【分析】
首先读题梳理条件：总人数每3人分1盘葡萄没有剩余，说明总人数是3的倍数；每4人分1盘圣女果也没有剩余，说明总人数同时是4的倍数，因此总人数是3和4的公倍数。我们可以先从最小公倍数入手，先算出12名同学对应的葡萄、圣女果总盘数，再用实际的21盘除以这个单位盘数得到倍数，最后用最小公倍数乘这个倍数就能得到总人数，思路清晰计算简便。
【解析】
1. 确定总人数属性
总人数同时是3和4的倍数，先求3和4的最小公倍数：3和4互质，最小公倍数为3×4=12。
2. 计算12人对应的水果总盘数
12人需要的葡萄盘数：12÷3=4（盘）
12人需要的圣女果盘数：12÷4=3（盘）
12人对应的两类水果总盘数：4+3=7（盘）
3. 推导总人数
实际两类水果总共有21盘，21盘是7盘的倍数为：21÷7=3
因此总人数为：12×3=36（人）
【答案】
36
【知识点】
最小公倍数，公倍数实际应用
【点评】
本题结合春游的生活化场景出题，避开了复杂的方程计算，通过最小公倍数的特性按比例推导总人数，解题思路巧妙，能很好地锻炼学生用数论知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们可以按以下思路逐步解题：①首先明确放置防滑垫的要求：四个角都要放，间距相等且为质数、整米数，说明这个间距必须同时整除泳池的长35米和宽14米，也就是间距是35和14的公因数；②先找出35和14的所有公因数，再从中筛选出符合要求的质数，得到正确的间距；③泳池四周属于封闭环形的放置场景，防滑垫的总数量就等于泳池的总周长除以相邻防滑垫的间距，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 筛选符合要求的间距：
先分别列出35和14的因数：
35的因数：1、5、7、35
14的因数：1、2、7、14
二者的公因数为1和7，其中1不是质数，7是质数，因此符合要求的防滑垫间距为7米。
2. 计算泳池的周长：
根据长方形周长公式：周长=(长+宽)×2
代入数值：(35+14)×2 = 98（米）
3. 计算防滑垫总数量：
封闭线路的植树问题中，放置数量=总长度÷间隔距离，因此总防滑垫数为：
98÷7 = 14（个）
【答案】
14个
【知识点】
公因数应用，质数识别，封闭植树问题
【点评】
本题是因数倍数、质数概念与植树问题的综合应用题，易错点是容易忽略“四个角都要放”的隐含要求，误选2、5等不符合条件的质数作为间距，同时要注意区分封闭环形植树和直线两端植树的计算差异，无需额外加1，整体考察学生对多个基础知识点的灵活结合运用能力。
【难度系数】
0.6
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