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A
A
C
1
2
$-3$
$x_1=-3,x_2=1$
1
$-4$
4
$x_1=x_2=2$
4
0
$-3$
$x_1=\frac{\sqrt{3}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
1
$-1$
1
$-3$
无实数根
$2x^2+5x+1=0$
17
$\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$
$\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
$k≥-\frac{1}{3}$
解：$\because \Delta=3^2-4×2×(-4)=41＞0，$$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根
解：$\because \Delta=(-6\sqrt{2})^2-4×1×18=0，$$\therefore$ 方程有两个相等的实数根
解：原方程化为一般形式为$5x^2-7x+5=0，$$\therefore \Delta=(-7)^2-4×5×5=-51＜0，$$\therefore$ 方程无实数根
D
D
【分析】要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。先确定题目中方程的$a、b$值，代入判别式等于0的条件计算$c$，再选出对应选项。
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 5x + c = 0$，其中$a=1$，$b=5$，因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入得：$5^2 - 4×1×c = 0$，即$25 - 4c = 0$，解得$c = \frac{25}{4}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，只需牢记判别式公式并代入计算即可，难度较低。
【难度系数】0.3
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程无实数根。首先计算给定方程的判别式，根据无实根的条件求出$k$的取值范围，再对比选项选出符合的答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x - k = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-k$。
根据根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-k) = 4 + 4k$
因为方程无实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即：
$4 + 4k ＜ 0$
解不等式：
$4k ＜ -4$
$k ＜ -1$
对比选项：
A. $-2 ＜ -1$，符合；
B. $-1 = -1$，此时$\Delta = 0$，方程有一个实数根，不符合；
C. $0 ＞ -1$，此时$\Delta = 4 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，不符合；
D. $1 ＞ -1$，此时$\Delta = 8 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，只要牢记判别式与根的关系，准确计算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
【分析】要确定一元二次方程求根公式中的$a,b,c$，需先将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），再对应找出各项系数，注意系数包含符号。解题时先去括号，再移项整理为标准形式，最后确定$a,b,c$的值。
【解析】首先将方程$x(2 - 7x) = 5$化为一元二次方程的一般形式：
1. 去括号：$2x - 7x^2 = 5$；
2. 移项：将常数项移到左边，得$-7x^2 + 2x - 5 = 0$；
3. 整理为标准形式（通常使二次项系数为正）：两边同乘$-1$，得$7x^2 - 2x + 5 = 0$；
对应一般形式$ax^2 + bx + c = 0$，可得$a=7$，$b=-2$，$c=5$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的一般形式；求根公式系数的确定
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是移项时的符号处理，属于基础题型，只要掌握一般形式的整理方法即可正确解答。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），据此将每个小题的方程整理为标准形式，确定$a$、$b$、$c$的值；再根据方程特点选择合适的方法求根，对于第(4)题，需计算根的判别式$b^2-4ac$判断根的情况。
【解析】
(1) 方程$x^2+2x-3=0$已是一元二次方程的标准形式，因此$a=1$，$b=2$，$c=-3$；因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得方程的根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 将方程$x^2=4x-4$移项整理为标准形式：$x^2-4x+4=0$，因此$a=1$，$b=-4$，$c=4$；因式分解得$(x-2)^2=0$，解得方程的根为$x_1=x_2=2$。
(3) 将方程$4x^2-3=0$整理为标准形式：$4x^2+0x-3=0$，因此$a=4$，$b=0$，$c=-3$；移项得$x^2=\frac{3}{4}$，开平方得$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，即方程的根为$x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(4) 方程$x^2-x+1=0$是标准形式，因此$a=1$，$b=-1$，$c=1$；计算根的判别式：$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3$，因为$-3＜0$，所以方程无实数根。
【答案】
4. (1) 1 2 -3 $x_1=-3,x_2=1$ (2) 1 -4 4 $x_1=x_2=2$ (3) 4 0 -3 $x_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2},x_2=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (4) 1 -1 1 -3 无实数根
【知识点】
一元二次方程的一般形式、一元二次方程的根、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念，包括标准形式中系数的确定、求根方法及根的判别式的应用，属于一元二次方程的基础题型，需熟练掌握相关公式和方法。
【难度系数】
0.8
【分析】
要将给定的一元二次方程化为一般形式，需先展开左边的乘积项，再通过移项整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式；确定一般形式后，找出$a$、$b$、$c$的值，代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算；最后利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$代入参数，即可求出方程的两个根。
【解析】
1. 化一般形式：
展开方程左边：$(2x+1)(x+2)=2x· x + 2x·2 +1· x +1·2=2x^2+5x+2$，
移项整理得：$2x^2+5x+2-1=0$，即一般形式为$2x^2+5x+1=0$。
2. 计算根的判别式：
由一般形式得$a=2$，$b=5$，$c=1$，
则$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×2×1=25-8=17$，显然$17＞0$。
3. 求方程的根：
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入$a=2$，$b=5$，$\Delta=17$，
得$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$，即$x_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
$2x^2+5x+1=0$；$17$；$-\dfrac{5+\sqrt{17}}{4}$；$\dfrac{-5+\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
一元二次方程一般形式；根的判别式；求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础运算，步骤清晰明确，只需掌握方程展开、移项整理、判别式计算及求根公式的应用即可，属于巩固一元二次方程知识点的基础题型。
【难度系数】
0.8
【分析】
这道题需分情况讨论方程的类型，因k的取值不确定，当k=0时方程为一次方程，当k≠0时为二次方程，不能直接按二次方程求解，这是本题的易错点。解题思路：先判断k=0时方程是否有实根，再判断k≠0时二次方程有实根的条件，最后综合两种情况得到k的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当k=0时，原方程化为：$-x - \dfrac{3}{4}=0$，解得$x=-\dfrac{3}{4}$，方程有实数根，符合题意；
2. 当k≠0时，原方程是一元二次方程，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$。
这里$a=k$，$b=-1$，$c=-\dfrac{3}{4}$，则$\Delta = (-1)^2 -4×k×(-\dfrac{3}{4}) =1 +3k$。
令$\Delta ≥0$，即$1+3k≥0$，解得$k≥-\dfrac{1}{3}$，结合k≠0，得此时$k≥-\dfrac{1}{3}$且$k≠0$。
综合两种情况，k的取值范围是$k≥-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$k≥-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一次方程的定义
【点评】
本题是易错题，容易忽略k=0时方程为一次方程的情况，直接按二次方程求解导致漏解，考查分类讨论的数学思想，需全面考虑方程的类型。
【难度系数】
0.5
【分析】
本题考查利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，解题思路为：①将每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）；②确定每个方程中$a$、$b$、$c$的值；③计算根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$，这里$a=2$，$b=3$，$c=-4$，则$\Delta = 3^2 - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41＞0$，所以方程有两个不相等的实数根；
(2) 对于方程$x^2 - 6\sqrt{2}x + 18 = 0$，这里$a=1$，$b=-6\sqrt{2}$，$c=18$，则$\Delta = (-6\sqrt{2})^2 - 4×1×18 = 72 - 72 = 0$，所以方程有两个相等的实数根；
(3) 先将方程$5(x^2 + 1) - 7x = 0$化为一般形式：$5x^2 - 7x + 5 = 0$，这里$a=5$，$b=-7$，$c=5$，则$\Delta = (-7)^2 - 4×5×5 = 49 - 100 = -51＜0$，所以方程无实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根；(3) 方程无实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根的判别式与根的关系
【点评】
本题为教材变式题，侧重考查根的判别式的基本应用，解题关键是准确确定一元二次方程一般形式中$a$、$b$、$c$的值，尤其要注意符号的处理，第三小题需先将方程整理为一般形式，避免出错，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
【分析】要解决这个问题，需明确一元二次方程有实数根的两个必要条件：一是方程必须是一元二次方程（二次项系数不为0），二是一元二次方程有实数根时判别式Δ≥0。先分别推导这两个条件对应的k的范围，再取两者的交集即可得到答案。
【解析】对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），有实数根需满足：
1. 二次项系数不为0：本题中二次项系数为$k-2$，因此$k-2≠0$，解得$k≠2$；
2. 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$：本题中$a = k-2$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(k-2)×1 = 4 - 4(k-2) = 12 - 4k$，
令$\Delta ≥0$，即$12 - 4k ≥0$，解得$k ≤3$；
综合上述两个条件，$k$的取值范围是$k ≤3$且$k≠2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程定义、根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，易错点是容易忽略二次项系数不为0的条件，需仔细审题。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决这个问题，需紧扣一元二次方程的两个核心条件：一是二次项系数不能为0，保证是一元二次方程；二是方程有两个实数根，需满足判别式≥0。解题时先根据一元二次方程定义确定m的限制，再结合根的判别式求解不等式，最后取两者的公共范围即可。
【解析】
1. 确定一元二次方程的二次项系数条件：
因为方程$(m-2)x^2+4x+2=0$是一元二次方程，所以二次项系数$m-2≠0$，解得$m≠2$。
2. 利用根的判别式求参数范围：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
本题中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4×(m-2)×2 = 16 - 8(m-2) = 32 - 8m$
令$\Delta ≥0$，即$32 -8m ≥0$，移项得$-8m ≥ -32$，两边除以$-8$（不等号方向改变），得$m ≤4$。
3. 取两个条件的交集：
结合$m≠2$和$m≤4$，可得$m$的取值范围是$m≤4$且$m≠2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式
【点评】
本题为易错题，学生易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到$m≤4$，误选A选项。解题时需同时关注一元二次方程的定义和根的判别式，确保参数范围完整准确。
【难度系数】
0.5
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