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解：生态园的面积能为$40\ \mathrm{m}^2。$
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB=CD，$$AD=BC。$
设$AB$的长为$x\ \mathrm{m}，$则$BC$的长为$\frac{18-x}{2}\ \mathrm{m}。$
由题意，得$x·\frac{18-x}{2}=40，$
整理得$x^2-18x+80=0，$
解得$x_1=10，$$x_2=8。$
$\therefore$ 生态园的面积能为$40\ \mathrm{m}^2，$$AB$的长为$10\ \mathrm{m}$或$8\ \mathrm{m}$
A
B
$10$
解：两边除以2得$(x-1)^2=9，$
开平方得$x-1=\pm3，$
$\therefore x_1=4，$$x_2=-2$
解：移项得$(x-2)^2 +x(x-2)=0，$
因式分解得$(x-2)(2x-2)=0，$
$\therefore x-2=0$或$2x-2=0，$
解得$x_1=1，$$x_2=2$
解：整理方程得$3y^2+2y-5=0，$
因式分解得$(y-1)(3y+5)=0，$
$\therefore y-1=0$或$3y+5=0，$
解得$y_1=1，$$y_2=-\frac{5}{3}$
解：
(1) $△ ABC$是等腰三角形。
理由：把$x=-1$代入原方程，得$a+c-2b+a-c=0，$化简得$a=b，$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ABC$是直角三角形。
理由：$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=(2b)^2 -4(a+c)(a-c)=0，$
化简得$b^2 +c^2=a^2，$
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c≠0，$
原方程可化为$2ax^2 +2ax=0，$
提取公因式得$2ax(x+1)=0，$
解得$x_1=0，$$x_2=-1$
【分析】本题是一元二次方程在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确矩形生态园一面靠墙，篱笆仅围另外三边，设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，根据篱笆总长度18 m，可表示出与AB相邻的边BC的长度；再利用矩形面积公式，结合面积为$ 40 \, \mathrm{m}^2 $的条件列出一元二次方程；求解方程后，根据边长为正数的实际意义，判断解是否合理，进而得出结论。
【解析】设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，因为四边形ABCD是矩形，所以$ AB = CD $，$ AD = BC $。由于AB靠墙，篱笆围的是AD、DC、CB三边，总长度为18 m，因此$ AD + DC + CB = 18 \, \mathrm{m} $，即$ 2BC + x = 18 $，解得$ BC = \frac{18 - x}{2} \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，生态园面积为$ AB × BC $，结合面积为$ 40 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$x · \frac{18 - x}{2} = 40$
整理得：
$x^2 - 18x + 80 = 0$
解得：$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 8 $。
因为$ x = 10 $和$ x = 8 $均为正数，符合边长的实际意义，所以均有效。
【答案】生态园的面积能为$ 40 \, \mathrm{m}^2 $，AB的长为10 m或8 m。
【知识点】一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用，核心是根据题意正确表示边长并建立方程，需注意解的实际意义（边长为正），属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】首先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围；再根据k的范围判断被开方数的正负，结合二次根式的性质化简式子，最后计算结果。
【解析】
∵关于x的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta=[-(2k-2)]^2 -4×1×(k^2-1)≥0$，
展开计算得：$4k^2 -8k +4 -4k^2 +4 = -8k +8≥0$，
解得$k≤1$。
当$k≤1$时，$k-1≤0$，$2 -k≥2 -1=1＞0$，
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，
则原式$=\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{|2-k|})^2 = |k-1| - (2 -k) = -(k-1) - (2 -k) = -k +1 -2 +k = -1$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式；二次根式的性质
【点评】本题综合考查一元二次方程根的判别式和二次根式的化简，解题关键是先利用判别式确定k的取值范围，再结合二次根式的性质化简，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】
首先明确矩形ABCD的边长与动点运动规则：AB=8cm，AD=3cm；点P从A向B以2cm/s移动，点Q从C向D以1cm/s移动，P到达终点B需4s，Q到达终点D需8s，故运动时间t的范围为0≤t≤4s。过Q作QE⊥AB构造直角三角形PEQ，利用矩形性质得EQ=AD=3cm，PE可表示为|8-3t|，再根据勾股定理建立关于t的方程，求解后筛选符合时间范围的解即可。
【解析】
设P、Q两点出发了t s（0≤t≤4），则AP=2t cm，CQ=t cm。
过点Q作QE⊥AB于点E，因为四边形ABCD是矩形，所以QE=AD=3cm，BE=CQ=t cm，因此PE=|AB - AP - BE|=|8 - 2t - t|=|8 - 3t| cm。
在Rt△PEQ中，由勾股定理得：
PE² + QE² = PQ²
代入PQ=5cm，得：
(8 - 3t)² + 3² = 5²
整理方程：
64 - 48t + 9t² + 9 = 25
9t² - 48t + 48 = 0
化简为：3t² - 16t + 16 = 0
解得：t₁=4/3，t₂=4，两个解均满足0≤t≤4。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、勾股定理、动点问题
【点评】
本题是矩形背景下的动点距离问题，核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，需注意运动时间的取值范围，避免得到不符合实际的解，考查几何性质与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.5
【分析】本题考查整体思想在代数式求值中的应用，解题思路为：①根据方程根的定义，将m代入方程得到关于m的等式，整理出代数式所需的部分；②利用等式性质对式子变形，得到代数式另一部分的值；③整体代入计算，无需求解m的具体值，简化运算过程。
【解析】
解：
∵ m是方程$x^2 - x -5=0$的实数根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 - m -5=0$，
整理得：$m^2 - m =5$，且$m^2 -5 = m$。
又
∵ 若$m=0$，代入方程左边得$-5≠0$，不满足方程，故$m≠0$，
对$m^2 -5 = m$两边同时除以$m$，得：$m - \frac{5}{m} =1$。
将上述结果代入代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - m)(m - \frac{5}{m} +1)\\=&5×(1 +1)\\=&10\end{aligned}$
【答案】10
【知识点】整体思想、一元二次方程的根、代数式求值
【点评】本题是一元二次方程相关的代数式求值题，核心考查整体思想的应用，通过方程根的定义得到关系式，变形后代入计算，避免了求解方程的复杂过程，是初中数学中典型的简化运算题型，注重对数学思想方法的考查。
【难度系数】0.7
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，需根据每个方程的结构特点选择适配的方法：(1)方程左边为完全平方形式，适合用直接开平方法；(2)方程存在公因式，适合用因式分解法；(3)先整理为一般式后，用因式分解法求解。具体思路为：(1)先将方程化简为“完全平方=常数”的形式，再开平方得到一次方程求解；(2)提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，令每个一次式为0分别求解；(3)先展开、移项整理为一元二次方程的一般式，再通过因式分解转化为一次方程求解。
【解析】
(1) 对$2(x-1)^2=18$，两边同时除以2得：$(x-1)^2=9$，
开平方得：$x-1=\pm3$，
解得：$x_1=4$，$x_2=-2$；
(2) 对$(x-2)^2+x(x-2)=0$，提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x-2+x)=0$，
化简得：$(x-2)(2x-2)=0$，
则$x-2=0$或$2x-2=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=1$；
(3) 对$(3y-1)(y+1)=4$，先展开左边得：$3y^2+3y-y-1=4$，
移项整理为一般式：$3y^2+2y-5=0$，
因式分解得：$(y-1)(3y+5)=0$，
则$y-1=0$或$3y+5=0$，
解得：$y_1=1$，$y_2=-\dfrac{5}{3}$；
【答案】
(1) $x_1=4,x_2=-2$；(2) $x_1=1,x_2=2$；(3) $y_1=1,y_2=-\dfrac{5}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，分别考查直接开平方法、因式分解法的应用，要求学生能根据方程特征选择恰当解法，计算时需注意符号和步骤的规范性，属于学生必须掌握的核心基础内容。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题结合一元二次方程与三角形的知识分三小问解决：(1)利用方程根的定义，将已知根代入方程化简得三边关系，判断三角形形状；(2)利用一元二次方程根的判别式Δ=0，计算化简得三边平方关系，判断直角三角形；(3)利用等边三角形三边相等的性质，代入方程化简后解一元二次方程得根。
【解析】
(1) 判断△ABC是等腰三角形，理由如下：
把$x=-1$代入方程$(a+c)x^2+2bx+a-c=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + a - c = 0$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0$，合并同类项得$2a - 2b = 0$，即$a = b$，故△ABC是等腰三角形。
(2) 判断△ABC是直角三角形，理由如下：
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$，其中$\Delta = (2b)^2 - 4(a+c)(a-c)$，计算得：
$\Delta = 4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 4b^2 - 4a^2 + 4c^2$
令$\Delta = 0$，则$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，两边除以4得$b^2 - a^2 + c^2 = 0$，即$a^2 = b^2 + c^2$，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形。
(3) 当△ABC是等边三角形时，$a = b = c ≠ 0$，原方程可化为：
$(a+a)x^2 + 2ax + a - a = 0$，即$2ax^2 + 2ax = 0$，提取公因式得$2ax(x+1)=0$，因为$a≠0$，所以$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
23. (1) △ABC是等腰三角形 理由:把$x=-1$代入原方程,得$a+c-2b+a-c=0.\therefore a=b.\therefore △ ABC$是等腰三角形. (2) △ABC是直角三角形 理由:
∵ 方程有两个相等的实数根,
∴ Δ=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0.
∴ b^2-a^2+c^2=0.
∴ a^2=b^2+c^2.
∴ △ ABC是直角三角形. (3)
∵ △ ABC是等边三角形,
∴ a=b=c≠0.
∴ 方程可化为2ax^2+2ax=0.
∴ 2ax(x+1)=0,解得$x_1=0,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式、三角形形状判断
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形性质结合，考查方程根的定义、判别式应用及三角形分类，是代数与几何融合的典型题，需综合运用知识解题。
【难度系数】
0.6
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