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D
B
A
$m≠-2$
$y=-\frac{1}{2}x^2+5x$
解：
(1) 整理$y=x(x+4)$得$y=x^2+4x，$是二次函数，二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0。
(2) 整理$y=(1-x)(2+x)+x^2$得$y=-x+2，$不是二次函数。
(3) $y=ax^2+\frac{x}{a}+1$（$a$是常数，且$a≠0$）是二次函数，二次项系数为$a，$一次项系数为$\frac{1}{a}，$常数项为1。
解：
(1) 由题意得另一条对角线长为$(24-x)\ \mathrm{cm}，$根据菱形面积公式：
$S=\frac{1}{2}x(24-x)=-\frac{1}{2}x^2+12x，$自变量$x$的取值范围是$0＜x＜24。$
(2) 当$x=12$时，代入得$S=-\frac{1}{2}×12^2+12×12=72，$即菱形的面积为$72\ \mathrm{cm}^2。$
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，需依据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数，需同时满足三个条件：①是整式函数；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来逐一分析选项：
选项A：$x$的最高次数是3，不符合二次函数的次数要求；
选项B：是分式函数，不是整式，不符合二次函数的整式要求；
选项C：未说明$a≠0$，若$a=0$则为常数函数，不符合要求；
选项D：满足二次函数的所有定义条件。
【解析】
根据二次函数的定义，逐一判定选项：
1. 选项A：$y=2x^3+3x$中，自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不是二次函数；
2. 选项B：$y=\dfrac{1}{3x}$是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数的整式要求；
3. 选项C：$y=a(x-1)^2+c$中，若$a=0$，函数退化为常数函数，只有当$a≠0$时才是二次函数，题目未明确$a≠0$，故不符合；
4. 选项D：$y=\dfrac{1}{5}x^2+3$是整式函数，自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数$\dfrac{1}{5}≠0$，完全符合二次函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的定义，核心是牢记二次函数的三个判定条件，尤其要注意二次项系数不为0这一易错点，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
【分析】要解决本题，需先明确二次函数的一般形式：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。将题目中的函数解析式与一般式对应，即可找出各系数。
【解析】二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对于函数$y=x^2+2x-1$，对比一般式：二次项$x^2$的系数为1（即二次项系数），一次项$2x$的系数为2（即一次项系数），常数项为$-1$。因此二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、2、-1，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次函数的系数
【点评】本题是基础概念题，直接考察二次函数一般式中各系数的定义，属于二次函数入门的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9
【分析】要确定该函数是关于$x$的二次函数，需依据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数是二次函数。对于本题的函数$y=(m-2)x^{m^2-2}$，需同时满足两个条件：①$x$的最高次数为2；②$x^2$的系数不为0。先根据次数条件求出$m$的可能值，再根据系数条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】根据二次函数的定义：
1. 次数条件：$x$的次数为2，即$m^2 - 2 = 2$，解方程得$m^2=4$，因此$m=±2$；
2. 系数条件：二次项系数不能为0，即$m - 2 ≠ 0$，因此$m≠2$；
结合两个条件，$m$只能取$-2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【点评】本题考查二次函数的定义，解题核心是牢记二次函数需同时满足“最高次数为2且二次项系数不为0”，易错点是忽略系数不为0的条件，需仔细审题。
【难度系数】0.5
【分析】判断函数是否为二次函数，需依据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，核心要求是二次项系数$a$不能为0。本题中给定函数是关于$x$的二次函数，因此其二次项系数需满足不为0，据此可列出不等式求解$m$的取值范围。
【解析】根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。对于函数$y=(m+2)x^2+2x+5$，其二次项系数为$m+2$，因此需满足$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
【答案】$m≠-2$
【知识点】二次函数的定义
【点评】本题考查二次函数的基础定义，核心是牢记二次项系数不为0的关键条件，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【分析】要推导直角三角形面积y与直角边长x的函数解析式，首先根据两条直角边的和为10，用x表示出另一条直角边，再利用直角三角形面积公式列式化简即可。
【解析】已知一条直角边长为x，两条直角边长的和为10，则另一条直角边长为10 - x。根据直角三角形面积公式：面积 = $\frac{1}{2}$×一条直角边×另一条直角边，代入得：
$y = \frac{1}{2}x(10 - x) = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$
【答案】$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+5x$
【知识点】二次函数的应用、直角三角形面积计算
【点评】本题属于基础题型，核心是利用直角边的和表示未知直角边，结合面积公式推导函数解析式，难度较低，适合巩固二次函数的实际应用。
【难度系数】0.7
【分析】判断y关于x的二次函数，需先将函数化简为一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），再根据定义判断最高次项是否为二次且二次项系数不为0，最后确定对应系数。
【解析】
(1) 对$y=x(x+4)$展开化简：
$y=x^2+4x$，符合二次函数一般形式，且二次项系数$1≠0$，故是二次函数，二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0；
(2) 对$y=(1-x)(2+x)+x^2$展开化简：
先计算$(1-x)(2+x)=2+x-2x-x^2=2 -x -x^2$，再加$x^2$得$y=2 -x$，最高次为1次，不是二次函数；
(3) 函数$y=ax^2+\dfrac{x}{a}+1$中，$a$是常数且$a≠0$，二次项系数$a≠0$，符合二次函数一般形式，故是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$\dfrac{1}{a}$，常数项为1；
【答案】(1)是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0；(3)是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别是$a,\dfrac{1}{a},1$
【知识点】二次函数的定义，多项式的化简
【点评】本题考查二次函数的定义，核心是将函数化简为标准形式后判断，需注意化简时同类项的合并，避免计算错误，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【分析】
首先回忆菱形的面积公式：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半。题目中两条对角线和为24cm，若一条对角线长为x cm，则另一条对角线长为(24-x) cm，据此可推导面积S与x的函数解析式；自变量x的取值范围需保证对角线长度为正数，因此x和24-x都要大于0，从而确定x的范围。第二问只需将x=12代入第一问的函数解析式计算面积即可。
【解析】
(1) 已知一条对角线长为x cm，两条对角线和为24 cm，则另一条对角线长为(24-x) cm。根据菱形面积公式：面积=1/2×对角线1×对角线2，可得：
$S=\frac{1}{2}x(24-x)=-\frac{1}{2}x^2+12x$。
因为对角线长度为正数，所以$x＞0$且$24-x＞0$，解得$0＜x＜24$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜24$。
(2) 当$x=12$时，代入$S=-\frac{1}{2}x^2+12x$得：
$S=-\frac{1}{2}×12^2+12×12=-72+144=72\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+12x(0＜x＜24)$；(2) $72\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的面积公式，二次函数的应用
【点评】
本题考查菱形面积公式的应用及二次函数的简单计算，属于基础题型，解题关键是牢记菱形面积公式，准确确定自变量取值范围并代入计算。
【难度系数】
0.6
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