第29页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

C

$y=-2π x^2+36π x\ (0＜x＜18)$

$-3$

 解：

 (1) 若该函数是关于$x$的一次函数，则需满足

 $\begin{cases} m^2 - m = 0 \\ m - 1 ≠ 0 \end{cases}$

 解得$m=0。$

 (2) 若该函数是关于$x$的二次函数，则二次项系数不为0，即$m^2 - m ≠ 0，$解得$m≠0$且$m≠1。$

 解：

 分两种情况讨论：

 ① 当$0≤ x ＜4$时，$AP=AQ=x\ \mathrm{cm}，$

 封闭图形的面积等于正方形面积减去$△ APQ$的面积，即$y=\frac{1}{2}×4×4 - \frac{1}{2}x^2 = 8 - \frac{1}{2}x^2。$

 ② 当$4＜x≤8$时，$CQ=CP=(8-x)\ \mathrm{cm}，$

 封闭图形的面积等于正方形面积减去$△ CPQ$的面积，即$y=\frac{1}{2}×4×4 - \frac{1}{2}(8-x)^2 = -\frac{1}{2}x^2 +8x -24。$

 综上，$y$关于$x$的函数解析式为

 $y=\begin{cases} 8-\frac{1}{2}x^2 & (0≤ x ＜4) \\\frac{1}{2}x^2 +8x -24 & (4＜x≤8) \end{cases}$

【分析】
要确定二次函数中参数m的值，需依据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数是二次函数，关键条件有两个：一是自变量$x$的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。因此本题需同时满足两个条件：①$x$的指数$|m|=2$；②二次项系数$m+2≠0$，据此求解$m$的值即可。
【解析】
根据二次函数的定义，函数$y=(m+2)x^{|m|}+2$是关于$x$的二次函数，需满足：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
结合上述两个条件，$m$只能取2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题为易错题，考查二次函数的定义，解题时需同时满足“二次项的次数为2”和“二次项系数不为0”两个条件，学生易忽略二次项系数不为0的限制，误选$\pm2$，需注意此类细节。
【难度系数】
0.5

【分析】
要推导四边形ABCD的面积y与CD长x的函数关系，需将不规则四边形面积转化为两个直角三角形的面积之和。通过作辅助线DE⊥AC，构造△ABC与△DAE全等，利用全等性质得到对应边的关系，再结合勾股定理建立CD（即x）与参数的联系，最终代入面积公式求解。
【解析】
过点D作DE⊥AC于点E，设BC=a，则AC=4a。
∵∠BAD=90°，
∴∠BAC + ∠DAE=90°，
又
∵DE⊥AC，
∴∠DAE + ∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE。
在△ABC和△DAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ACB=∠DEA=90°\\∠BAC=∠ADE\\AB=DA\end{array} $
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AE=BC=a，DE=AC=4a，
∴EC=AC - AE=4a - a=3a。
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
CD=$\sqrt{EC^2 + DE^2}=\sqrt{(3a)^2 + (4a)^2}=5a$，
∵CD=x，
∴5a=x，即$a=\frac{x}{5}$。
四边形ABCD的面积y=S△ABC + S△ADC，
S△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AC=\frac{1}{2}×a×4a=2a²$，
S△ADC=$\frac{1}{2}×AC×DE=\frac{1}{2}×4a×4a=8a²$，
∴y=2a² +8a²=10a²，
将$a=\frac{x}{5}$代入得：y=10×$(\frac{x}{5})^2$=$\frac{2}{5}x²$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定，勾股定理，四边形面积
【点评】
本题通过作辅助线构造全等三角形，将不规则四边形面积转化为两个直角三角形面积之和，结合勾股定理建立边长关系，考查了全等三角形和勾股定理的应用，解题关键是构造全等三角形转化边的关系，难度中等。
【难度系数】
0.5

【分析】要推导y与x的函数解析式，需先根据矩形周长确定矩形的邻边长，再结合圆柱侧面积公式，明确旋转后圆柱的底面半径和高，进而推导函数式，同时确定自变量的取值范围。
【解析】已知矩形周长为36m，设矩形的另一条边长为x m，则与x相邻的边长为$\frac{36}{2} - x = (18 - x)\ \mathrm{m}$。当矩形绕长度为$(18 - x)$的边旋转形成圆柱时，圆柱的底面半径$r = x\ \mathrm{m}$，高$h = (18 - x)\ \mathrm{m}$。根据圆柱侧面积公式：侧面积$=2π rh$，代入得：
$y = 2π · x · (18 - x)$
展开化简得：$y = -2π x^2 + 36π x$
由于矩形边长需为正数，因此$x ＞ 0$且$18 - x ＞ 0$，即自变量x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 18$。
【答案】$y=-2π x^{2}+36π x(0＜x＜18)$
【知识点】圆柱侧面积计算、矩形周长应用、二次函数解析式
【点评】本题为教材变式题，结合矩形旋转成圆柱的几何变换，考查圆柱侧面积公式的应用，核心是确定旋转后圆柱的底面半径和高，需注意自变量的取值范围限制。
【难度系数】0.5

【分析】
首先根据“y与x²成正比例”，设出正比例函数的解析式；再代入已知的x、y值求出比例系数k；最后将x=-3代入已确定的解析式，计算出对应的y值。
【解析】
解：因为y与$x^2$成正比例，所以设函数解析式为$y = kx^2$（k为常数，$k≠0$）。
将$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{3}$代入解析式得：
$-\dfrac{1}{3} = k × (-1)^2$，即$-\dfrac{1}{3} = k$，所以$k = -\dfrac{1}{3}$。
因此函数解析式为$y = -\dfrac{1}{3}x^2$。
当$x=-3$时，代入得：
$y = -\dfrac{1}{3} × (-3)^2 = -\dfrac{1}{3} × 9 = -3$。
【答案】
-3
【知识点】
正比例函数，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心是利用待定系数法确定函数解析式，步骤简单，注重基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，需先明确一次函数和二次函数的定义：一次函数的形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数），二次函数的形式为$y=ax²+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。对于给定函数，第(1)问需满足二次项系数为0且一次项系数不为0；第(2)问需满足二次项系数不为0，据此列条件求解即可。
【解析】
(1) 若函数是关于$x$的一次函数，则需满足：
二次项系数$m² - m = 0$，且一次项系数$m - 1 ≠ 0$，
解$m² - m = 0$得$m(m - 1)=0$，即$m=0$或$m=1$；
结合$m - 1 ≠ 0$，得$m≠1$，因此$m=0$。
(2) 若函数是关于$x$的二次函数，则需满足二次项系数$m² - m ≠ 0$，
即$m(m - 1)≠0$，因此$m≠0$且$m≠1$。
【答案】
(1) $m=0$；(2) $m≠0$且$m≠1$
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义
【点评】
本题考查一次函数与二次函数的定义应用，属于基础题型，核心是准确把握两类函数的系数限制条件，易错点是忽略一次函数中一次项系数不能为0的要求，或二次函数中二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决该问题，需根据动点P、Q的运动阶段分情况讨论：当0≤x＜4时，P在AB上、Q在AD上；当4＜x≤8时，P在BC上、Q在DC上。利用“封闭图形面积=正方形中对应三角形面积的差”计算，核心是确定不同阶段的线段长度，进而求出对应三角形面积，最终建立y与x的函数关系。
【解析】
解：正方形ABCD边长为4 cm，故△ABD和△BCD的面积均为$\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{cm}^2$。
1. 当$0≤ x＜4$时，点P在AB上，点Q在AD上，此时$AP=AQ=x\ \mathrm{cm}$，$△ APQ$为直角三角形，面积为$\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{cm}^2$。
封闭图形P、B、D、Q的面积：
$y = S_{△ ABD} - S_{△ APQ} = 8 - \frac{1}{2}x^2$。
2. 当$4＜x≤8$时，点P在BC上，点Q在DC上，此时$CP=CQ=8-x\ \mathrm{cm}$，$△ CPQ$为直角三角形，面积为$\frac{1}{2}(8-x)^2\ \mathrm{cm}^2$。
封闭图形P、B、D、Q的面积：
$y = S_{△ BCD} - S_{△ CPQ} = 8 - \frac{1}{2}(8-x)^2$，展开得：
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 8x -24$。
综上，y关于x的函数解析式为：
$y=\begin{cases} 8-\dfrac{1}{2}x^{2}&(0≤ x＜4), \\ -\dfrac{1}{2}x^{2}+8x-24&(4＜x≤8) \end{cases}$
【答案】
$y=\begin{cases} 8-\dfrac{1}{2}x^{2}&(0≤ x＜4), \\ -\dfrac{1}{2}x^{2}+8x-24&(4＜x≤8) \end{cases}$
【知识点】
正方形性质、动点问题、二次函数应用
【点评】
本题为动点类函数问题，需分阶段讨论动点位置，利用几何面积的和差关系建立函数，关键是准确确定各阶段的线段长度，避免遗漏分段条件，难度适中。
【难度系数】
0.5