第30页

信息发布者：
C
D
C
C
$a＜0$
0
$-3≤ y≤0$
解：
(1) 由题意，得$8=a· 2^2，$解得$a=2。$
$\therefore y=2x^2。$
$\therefore$ 当$x=-1$时，$k=2×(-1)^2=2。$
该函数图象的对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)，$开口向上。
(2) 令$y=4，$则$2x^2=4，$解得$x_1=\sqrt{2}，$$x_2=-\sqrt{2}。$
$\therefore$ 该函数图象上纵坐标为4的点的坐标为$(\sqrt{2},4)，$$(-\sqrt{2},4)。$
(3) 当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=2×(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}。$
$\therefore$ 该函数的图象经过点$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})。$
【分析】
要确定抛物线的对称轴，需回忆二次函数对称轴公式：对于一般式$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题中抛物线为$y=2x^2$，对应$a=2$，$b=0$，将参数代入公式计算，再结合直线的定义判断选项即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=2x^2$中，$a=2$，$b=0$，代入公式得：
对称轴为直线$x=-\frac{0}{2×2}=0$，而直线$x=0$就是$y$轴，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称轴，抛物线的性质
【点评】
本题考查二次函数基础的对称轴知识点，属于入门级基础题，只要牢记对称轴公式就能快速解答，适合巩固二次函数的基本概念。
【难度系数】
0.8
【分析】要解决这个问题，需回忆二次函数的增减性与二次项系数的对应关系：对于形如$y=kx^2$的二次函数，其对称轴为$y$轴，增减性由二次项系数$k$决定：当$k＞0$时，抛物线开口向上，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小；当$k＜0$时，抛物线开口向下，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大。题目中已知$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，因此需确定二次项系数的符号，进而求出$a$的取值范围。
【解析】二次函数$y=(a-1)x^2$的二次项系数为$(a-1)$，其图象的对称轴为$y$轴。根据二次函数的增减性：当二次项系数小于$0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而增大。结合题意，当$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，因此有$a-1 ＜ 0$，解不等式得$a ＜ 1$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】二次函数的性质
【点评】本题为教材变式题，核心考查二次函数的增减性与二次项系数的关系，属于基础题型，只要掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】0.7
【分析】
要判断二次函数图象开口大小，需依据二次函数$y=ax^2$的核心性质：开口宽窄由$|a|$决定，$|a|$越小，开口越大；$|a|$越大，开口越小。因此先计算三个函数中$a$的绝对值，再比较绝对值的大小，即可确定开口从大到小的顺序。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，开口大小由$|a|$决定：
1. 函数①$y=3x^2$，$|a|=3$；
2. 函数②$y=\frac{2}{3}x^2$，$|a|=\frac{2}{3}$；
3. 函数③$y=-\frac{4}{3}x^2$，$|a|=\frac{4}{3}$。
比较绝对值大小：$\frac{2}{3} ＜ \frac{4}{3} ＜ 3$，根据“$|a|$越小，开口越大”，可知开口从大到小的顺序为②③①，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质
【点评】
本题考查二次函数开口大小的判断，核心是掌握$|a|$与开口大小的关系，属于基础题型，只要牢记规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道题，需先明确抛物线$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：该抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（$x=0$），且对于任意$x$，$x^2≥0$，因此$y=ax^2≥0$（仅当$x=0$时$y=0$）。接下来比较$A(-2,y_1)$和$B(1,y_2)$对应的函数值大小，需利用“开口向上的抛物线，离对称轴越远的点，函数值越大”这一性质，先计算两点到对称轴的距离，再判断函数值关系。
【解析】
1. 分析抛物线$y=ax^2(a＞0)$的函数值符号：
因为$a＞0$，且$x^2≥0$，所以$y=ax^2≥0$。又因为$A(-2,y_1)$、$B(1,y_2)$的横坐标均不为0，因此$y_1＞0$，$y_2＞0$。
2. 比较$y_1$与$y_2$的大小：
抛物线对称轴为$y$轴，点到对称轴的距离为横坐标的绝对值。$A$点到对称轴的距离为$|-2|=2$，$B$点到对称轴的距离为$|1|=1$。
由于$a＞0$，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，因此$y_1＞y_2$。
3. 综上，$y_1＞y_2＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；抛物线$y=ax^2$的图像与性质
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，核心是利用抛物线的开口方向和对称性判断函数值大小，属于二次函数的入门基础题，需熟练掌握抛物线的基本特征。
【难度系数】
0.8
【分析】
要确定二次函数$y=ax^2$中$a$的取值范围，需回忆该函数的图像性质：二次函数$y=ax^2$的图像是抛物线，对称轴为$y$轴（$x=0$）。当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大；当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小。题目中明确“当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小”，结合上述性质即可得出$a$的范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 其图像对称轴为$y$轴，当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$x＞0$区间内，$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$x＞0$区间内，$y$随$x$的增大而减小；
3. 题目要求$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，因此$a$需满足$a＜0$。
【答案】
$a＜0$
【知识点】
二次函数的图像性质
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的增减性，属于基础概念应用题型，需熟练掌握该类函数的图像特征与增减规律。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，首先观察到点P和Q的纵坐标相同，说明它们在二次函数图像的同一水平线上。对于二次函数，纵坐标相同的两个点关于其对称轴对称，因此可利用二次函数的对称性快速推导，也可通过代入函数解析式求解横坐标后计算和。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性
二次函数$y=-\dfrac{1}{5}x^2$属于$y=ax^2$型，其对称轴为$x=0$（y轴）。
因为点$P(t_1, -\dfrac{1}{4})$和$Q(t_2, -\dfrac{1}{4})$纵坐标相同，所以两点关于对称轴$x=0$对称，即两点横坐标互为相反数，因此$t_1 = -t_2$，故$t_1 + t_2 = 0$。
方法二：代入解析式求解
将$y=-\dfrac{1}{4}$代入二次函数$y=-\dfrac{1}{5}x^2$，得：
$-\dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{5}x^2$
两边同乘$-1$得：$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{5}x^2$
解得$x^2 = \dfrac{5}{4}$，即$x = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
所以$t_1$和$t_2$分别为$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$和$-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，则$t_1 + t_2 = \dfrac{\sqrt{5}}{2} + (-\dfrac{\sqrt{5}}{2}) = 0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心是利用对称性简化计算，也可通过代入解析式解方程得到结果，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
【分析】要确定给定x范围下y的取值范围，需先根据已知点求出二次函数解析式，再结合函数的开口方向、对称轴分析区间内的最值，进而得到y的范围。
【解析】1. 求函数解析式：将点A(-1, -$\frac{1}{3}$)代入二次函数$y=ax^2$，得$-\frac{1}{3}=a·(-1)^2$，解得$a=-\frac{1}{3}$，因此函数解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2$。2. 分析函数性质：该函数中$a=-\frac{1}{3}＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=0$（y轴），在对称轴处取得最大值，且离对称轴越远，函数值越小。3. 求y的最值：在$-1≤ x≤3$中，当$x=0$时，y取最大值$y_{max}=-\frac{1}{3}×0^2=0$；比较x到对称轴的距离，$|3-0|=3＞|-1-0|=1$，故当$x=3$时，y取最小值$y_{min}=-\frac{1}{3}×3^2=-3$。因此y的取值范围是$-3≤ y≤0$。
【答案】$-3≤ y≤0$
【知识点】二次函数解析式确定、二次函数图像性质
【点评】本题考查二次函数的基础应用，解题关键是先确定函数解析式，再结合函数性质分析区间内的最值，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【分析】
这道题围绕二次函数的基本应用展开，核心思路是利用“二次函数图象上的点满足函数解析式”这一性质解题：第(1)问通过代入已知点求函数参数，再根据二次函数y=ax²的性质确定对称轴、顶点和开口方向；第(2)问令函数值为4，解方程求对应x，得到点坐标；第(3)问代入x值计算函数值，与给定纵坐标比较判断点是否在图象上。
【解析】
(1) 因为点A(2,8)在二次函数y=ax²的图象上，将A(2,8)代入解析式得：8 = a·2²，解得a=2，因此函数解析式为y=2x²。
又点B(-1,k)在该函数图象上，将x=-1代入y=2x²得：k=2×(-1)²=2。
对于二次函数y=2x²，a=2＞0，故开口向上；对称轴为y轴（直线x=0）；顶点坐标为(0,0)。
(2) 令y=4，代入y=2x²得：2x²=4，即x²=2，解得x₁=√2，x₂=-√2，因此纵坐标为4的点坐标为(√2,4)、(-√2,4)。
(3) 将x=-1/2代入y=2x²，计算得：y=2×(-1/2)²=1/2，与点(-1/2,1/2)的纵坐标相等，故该函数图象经过此点。
【答案】
(1) a=2，k=2；对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)，开口向上；(2) (√2,4)、(-√2,4)；(3) 经过点(-1/2,1/2)
【知识点】
二次函数的解析式、二次函数的图像性质、二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考察待定系数法求解析式、二次函数基本性质及点与函数图象的关系，知识点单一且基础，适合巩固二次函数入门内容。
【难度系数】
0.8
上一页 下一页