解：
(1) 设直线$l$对应的函数解析式为$y=kx+b。$
将$A(4,0)，$$B(0,4)$代入，得
$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$
$\therefore$ 直线$l$对应的函数解析式为$y=-x+4。$
(2) 由抛物线的顶点$P(1,0)$可得，抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2。$
$\because S_{△ AMP}=3，$且$PA=4-1=3，$
$\therefore$ 点$M$的纵坐标为2。
令$y=-x+4=2，$则$x=2，$$\therefore M(2,2)。$
把$M(2,2)$代入$y=a(x-1)^2，$得$2=a×(2-1)^2，$
$\therefore a=2，$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=2(x-1)^2。$
解：
(1) 在$y=-x-2$中，令$x=0，$则$y=-2；$令$y=0，$则$x=-2。$
$\therefore A(-2,0)，$$B(0,-2)，$$\therefore h=-2，$
$\therefore y=a(x+2)^2。$
把$B(0,-2)$代入$y=a(x+2)^2，$得$4a=-2，$解得$a=-\frac{1}{2}，$
$\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2。$
(2) $\because$ 点$C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$上，
$\therefore -\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}，$
解得$m_1=1，$$m_2=-5。$
(3) 把$D(-4,n)$代入$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2，$得$n=-2，$
$\therefore D(-4,-2)，$易得$BD// x$轴，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2×4=4。$
(4) 存在，点$Q$的坐标为$(-2,-2)$或$(-2,2)。$
【分析】
要解决本题，需先明确抛物线顶点式的性质：抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$M(h,0)$，且与$x$轴仅交于$M$点。接着设平行于$x$轴的直线$l$的解析式为$y=a(a＞0)$，联立抛物线方程求出$A$、$B$两点的横坐标，利用直线平行于$x$轴时线段长度为横坐标差的性质，结合$AB=3$求出$a$的值，最后计算点$M$到直线$l$的距离。
【解析】
1. 抛物线$y=(x-h)^2$为顶点式，其顶点$M$的坐标是$(h,0)$，开口向上，与$x$轴仅交于$M$点。
2. 设直线$l$的解析式为$y=a(a＞0)$，联立抛物线方程：
$ (x-h)^2 = a $
解得$x = h \pm \sqrt{a}$，即$A(h-\sqrt{a},a)$，$B(h+\sqrt{a},a)$。
3. 因直线$l$平行于$x$轴，$AB$的长度为两点横坐标的差：
$ AB = (h+\sqrt{a}) - (h-\sqrt{a}) = 2\sqrt{a} $
已知$AB=3$，则$2\sqrt{a}=3$，解得$\sqrt{a}=\frac{3}{2}$，故$a=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$。
4. 点$M(h,0)$到直线$l:y=\frac{9}{4}$的距离为纵坐标的差：
$ \mathrm{距离} = \frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4} $
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数与直线交点、点到直线距离
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用，利用抛物线对称性求线段长度，进而计算点到直线的距离，属于基础题型，需掌握顶点式性质及联立方程求交点的方法。
【难度系数】
0.5
【分析】要解决这道题，需先回忆二次函数顶点式的增减性规律：对于二次函数的顶点式$y=m(x-h)^2$，当$m＞0$时，函数图象开口向上，在对称轴$x=h$右侧，$y$随$x$的增大而增大，左侧则相反。本题中函数是$y=4(x-a)^2$，先确定其开口方向和对称轴，再结合题目“当$x＞1$时，$y$随$x$增大而增大”的条件，判断对称轴与$x=1$的位置关系，进而求出$a$的取值范围，注意不能遗漏$a=1$的情况。
【解析】解：二次函数$y=4(x-a)^2$为顶点式，其中二次项系数$4＞0$，因此函数图象开口向上，对称轴为直线$x=a$。
对于开口向上的二次函数，在对称轴右侧（即$x＞a$）时，$y$随$x$的增大而增大。
题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞1$的区间需完全落在对称轴右侧，即对称轴$x=a$应满足$a≤1$（当$a=1$时，$x＞1$恰好是对称轴右侧，也符合题意）。
因此$a$的取值范围是$a≤1$。
【答案】$a≤1$
【知识点】二次函数的性质、顶点式的增减性
【点评】本题是易错题，学生容易忽视$a=1$的情况，需牢记开口向上的二次函数增减性与对称轴的对应关系，准确判断区间与对称轴的位置，避免因考虑不全面而出错。
【难度系数】0.5
【分析】
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，需先确定该二次函数的对称轴和开口方向：此函数为顶点式，对称轴是直线$x=3$，且$a＞0$，抛物线开口向上，因此点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大。接下来计算三点到对称轴的距离，比较距离大小即可得到函数值的关系。
【解析】
二次函数$y=a(x-3)^2(a＞0)$的对称轴为直线$x=3$，且$a＞0$，抛物线开口向上，故点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大。
分别计算三点到对称轴$x=3$的距离：
点$A(-\frac{15}{4},y_1)$到对称轴的距离：$\left| -\frac{15}{4} - 3 \right| = \left| -\frac{27}{4} \right| = \frac{27}{4}$
点$B(-\frac{3}{4},y_2)$到对称轴的距离：$\left| -\frac{3}{4} - 3 \right| = \left| -\frac{15}{4} \right| = \frac{15}{4}$
点$C(7,y_3)$到对称轴的距离：$\left| 7 - 3 \right| = 4 = \frac{16}{4}$
比较距离大小：$\frac{27}{4} ＞ \frac{16}{4} ＞ \frac{15}{4}$，因此对应的函数值大小为$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
二次函数的性质、函数值比较
【点评】
本题考查二次函数顶点式的性质，核心是利用开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离与函数值的关系比较大小，属于基础题型，需熟练掌握顶点式的特点。
【难度系数】
0.6
【分析】
第(1)问求直线l的解析式，已知直线过A(4,0)和B(0,4)，采用待定系数法，设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标求解方程组得到k、b的值即可。第(2)问，抛物线顶点为P(1,0)，用顶点式设抛物线解析式为y=a(x-1)²；结合三角形AMP的面积，先算出PA的长度，再根据面积公式求出点M的纵坐标，代入直线解析式得到M的横坐标，最后将M点坐标代入抛物线解析式求出a，即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) 设直线l对应的函数解析式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入，得：
$\begin{cases}4k + b = 0 \\ b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = 4\end{cases}$
因此直线l的函数解析式为$y=-x+4$。
(2) 因为抛物线的顶点为$P(1,0)$，所以抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2$。
已知$S_{△ AMP}=3$，$PA=4-1=3$，设点M的纵坐标为$y_M$，根据三角形面积公式$\frac{1}{2}×底×高$，得：
$\frac{1}{2}×3×|y_M|=3$，解得$|y_M|=2$，结合图像可知M在第一象限，故$y_M=2$。
将$y=2$代入直线l的解析式$y=-x+4$，得$2=-x+4$，解得$x=2$，即$M(2,2)$。
把$M(2,2)$代入$y=a(x-1)^2$，得$2=a×(2-1)^2$，解得$a=2$。
因此抛物线的函数解析式为$y=2(x-1)^2$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；(2) $y=2(x-1)^2$
【知识点】
一次函数解析式、二次函数顶点式、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式，以及利用三角形面积确定点的坐标，解题步骤清晰，属于常规题。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先，第(1)问需先根据直线解析式求出与x轴、y轴交点A、B的坐标，再结合抛物线顶点式的特点确定参数h，代入点B的坐标求出a，进而得到抛物线解析式；第(2)问将点C的坐标代入抛物线解析式，解关于m的方程；第(3)问先求点D的坐标，再根据点的特征确定三角形ABD的底和高计算面积；第(4)问先确定抛物线对称轴，得到点Q的横坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，分情况讨论Q的纵坐标，从而得到Q的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x-2$，令$y=0$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$；令$x=0$，解得$y=-2$，故$B(0,-2)$。
因为抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A，所以$h=-2$，抛物线解析式为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入得：$-2=a(0+2)^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$。
(2) 点$C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线上，代入解析式得：
$-\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}(m+2)^2$，化简得$(m+2)^2=9$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 将$D(-4,n)$代入抛物线解析式得：$n=-\frac{1}{2}(-4+2)^2=-2$，故$D(-4,-2)$。
由$B(0,-2)$、$D(-4,-2)$知$BD// x$轴，$BD=4$，点A到直线BD的距离为2，因此$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
(4) 抛物线对称轴为直线$x=-2$，设$Q(-2,q)$。要使以Q、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：
① 当OA为边时，$BQ// OA$且$BQ=OA$，得$q=-2$，即$Q(-2,-2)$；
② 当OB为边时，$AQ// OB$且$AQ=OB$，得$q=2$，即$Q(-2,2)$。
故存在点Q，坐标为$(-2,-2)$或$(-2,2)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$；
(2) $m=1$或$m=-5$；
(3) $4$；
(4) 存在，$Q(-2,-2)$或$(-2,2)$。
【知识点】
一次函数与二次函数、平行四边形判定、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查函数解析式求解、点的坐标应用、图形面积计算及平行四边形存在性问题，需掌握函数基本性质与分类讨论思想，难度适中。
【难度系数】
0.6
|
|