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C
B
D
向上
直线$x=-4$
$(-4,-1)$
向下
直线$x=5$
$(5,2)$
向下
直线$x=-1$
$(-1,6)$
1
4
解：
(1) 把$(1,2)$代入$y=(x-a)^2+a-1，$得
$2=(1-a)^2+a-1，$
解得$a=2$或$a=-1。$
∴该二次函数的解析式为$y=(x-2)^2+1$或$y=(x+1)^2-2。$
(2) 抛物线$y=(x-a)^2+a-1$的开口向上，对称轴是直线$x=a。$
若$a＜1，$则当$x=1$时，$y$取最小值2。
∴$(1-a)^2+a-1=2，$解得$a=2$(舍去)或$a=-1。$
若$1≤ a≤4，$则当$x=a$时，$y$取最小值2。
∴$a-1=2，$解得$a=3。$
若$a＞4，$则当$x=4$时，$y$取最小值2。
∴$(4-a)^2+a-1=2，$方程无实数解。
综上所述，$a$的值为$-1$或$3。$
D
【分析】这道题考查抛物线顶点式的顶点坐标确定方法。首先需明确二次函数的顶点式形式为$y=a(x-h)^2 + k$，其中顶点坐标为$(h,k)$，解题时要将给定的抛物线式子与标准顶点式对比，找到对应的$h$和$k$的值，进而确定顶点坐标。
【解析】将抛物线$y=-(x+1)^2 +1$与顶点式$y=a(x-h)^2 +k$对比，可得$h=-1$，$k=1$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-1,1)$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数顶点式、抛物线顶点坐标
【点评】本题是二次函数的基础题型，直接考查顶点式与顶点坐标的对应关系，只要牢记顶点式的结构就能快速解答，属于易得分题。
【难度系数】0.9
【分析】
要判断抛物线$y=3(x+1)^2 -4$的相关性质，需结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的核心性质分析：①$a$决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,k)$；④$a＞0$时顶点为函数最小值点，$a＜0$时顶点为函数最大值点。再逐一验证选项即可。
【解析】
抛物线$y=3(x+1)^2 -4$为顶点式，其中$a=3$，$h=-1$，$k=-4$。
选项A：$a=3＞0$，抛物线开口向上，而非向下，故A错误；
选项B：对称轴为直线$x=h=-1$，故B正确；
选项C：顶点坐标为$(h,k)=(-1,-4)$，而非$(1,-4)$，故C错误；
选项D：$a=3＞0$，抛物线开口向上，顶点为函数最小值点，即当$x=-1$时，函数有最小值$-4$，而非最大值，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础性质，属于常规基础题，需熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这道题，需先利用抛物线顶点式的性质确定顶点坐标，再结合各象限内点的坐标特征，分情况讨论顶点可能所在的象限，进而找出一定不在的象限。
【解析】
1. 确定顶点坐标：对于抛物线顶点式$y=m(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。本题抛物线$y=2(x-a)^2+a+1$的顶点坐标为$(a, a+1)$，其中$a$为任意实数。
2. 分情况讨论象限：
当$a＞0$时，$a＞0$且$a+1＞0$，顶点$(a,a+1)$横、纵坐标均为正，位于第一象限，排除A；
当$-1＜a＜0$时，$a＜0$且$a+1＞0$，顶点$(a,a+1)$横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，排除B；
当$a＜-1$时，$a＜0$且$a+1＜0$，顶点$(a,a+1)$横、纵坐标均为负，位于第三象限，排除C；
若顶点在第四象限，需满足$a＞0$且$a+1＜0$，但$a＞0$时$a+1＞1＞0$，不可能满足$a+1＜0$，因此顶点一定不在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
抛物线顶点坐标、象限的判断
【点评】
本题考查抛物线顶点式的应用及象限坐标特征，核心是利用顶点式确定顶点坐标，再通过参数取值范围分析顶点所在象限，属于基础题型，需掌握顶点式性质和各象限点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.6
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，解题思路是：对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，根据$a$的符号判断开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，注意$(x+m)$对应$h=-m$，据此分别计算各小题即可。
【解析】
(1) 抛物线$y=3(x+4)^2-1$是顶点式，其中$a=3＞0$，故开口方向向上；$h=-4$，对称轴为直线$x=-4$；顶点坐标为$(h,k)=(-4,-1)$。
(2) 抛物线$y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2+2$是顶点式，其中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，故开口方向向下；$h=5$，对称轴为直线$x=5$；顶点坐标为$(5,2)$。
(3) 抛物线$y=-2(x+1)^2+6$是顶点式，其中$a=-2＜0$，故开口方向向下；$h=-1$，对称轴为直线$x=-1$；顶点坐标为$(-1,6)$。
【答案】
(1) 向上；直线$x=-4$；$(-4,-1)$
(2) 向下；直线$x=5$；$(5,2)$
(3) 向下；直线$x=-1$；$(-1,6)$
【知识点】
二次函数顶点式；抛物线开口方向；对称轴与顶点坐标
【点评】
本题为教材变式基础题，直接考查二次函数顶点式的基本性质，掌握顶点式参数意义即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
【分析】要解决这个问题，首先明确二次函数顶点在y轴上的几何意义：二次函数图像的顶点在y轴上时，其对称轴为y轴（即对称轴方程为x=0）。接着回忆二次函数对称轴的计算公式，代入题目中的参数建立关于m的方程，解方程即可得到m的值。
【解析】对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。本题中二次函数为$y = x^2 - (2m - 2)x - 4$，其中$a=1$，$b=-(2m-2)$。因为顶点在y轴上，所以对称轴为$x=0$，代入对称轴公式得：
$-\frac{-(2m - 2)}{2×1} = 0$
化简得：$\frac{2m - 2}{2} = 0$，即$m - 1 = 0$，解得$m=1$。
【答案】1
【知识点】二次函数的对称轴、二次函数的顶点性质
【点评】本题考查二次函数顶点在y轴上的性质，核心是利用对称轴公式建立方程求解，属于基础题型，需熟练掌握二次函数对称轴的计算方法。
【难度系数】0.5
【分析】要计算$a - k$的值，观察二次函数表达式$y=a(x+1)^2 -k$，发现当$x=0$时，代入表达式可直接得到$y=a -k$；结合图像可知，当$x=0$时函数值为4，据此可求出$a -k$的值。
【解析】将$x=0$代入二次函数$y=a(x+1)^2 -k$，得：
$y=a(0+1)^2 -k = a -k$
由图像可知，当$x=0$时，$y=4$，因此$a -k=4$。
【答案】4
【知识点】二次函数顶点式、函数图像与解析式的关系
【点评】本题利用二次函数顶点式的特点，通过图像上的点代入解析式直接求解，思路清晰，属于基础题。
【难度系数】0.6
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用函数图象上的点满足函数解析式，将已知点代入二次函数解析式即可求出参数a，进而得到解析式；第(2)问是求二次函数在区间[1,4]上的最小值，该二次函数开口向上，对称轴为直线x=a，需分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，分别计算对应最小值时的a值，再筛选符合条件的解。
【解析】
(1) 将点(1,2)代入二次函数$y=(x-a)^2+a-1$，得：
$2=(1-a)^2+a-1$
整理得：$a^2 - a - 2 = 0$
因式分解得：$(a-2)(a+1)=0$
解得$a=2$或$a=-1$
当$a=2$时，解析式为$y=(x-2)^2 + 2 -1 = (x-2)^2 +1$；
当$a=-1$时，解析式为$y=(x+1)^2 + (-1)-1 = (x+1)^2 -2$。
(2) 二次函数$y=(x-a)^2+a-1$开口向上，对称轴为直线$x=a$，分三种情况讨论：
① 若$a ＜ 1$，则在区间$1≤x≤4$上，函数在$x=1$处取得最小值，代入得：
$(1-a)^2 + a -1 = 2$
整理得：$a^2 -a -2=0$，解得$a=2$（舍去，因$a＜1$）或$a=-1$；
② 若$1≤a≤4$，则函数在对称轴$x=a$处取得最小值，此时最小值为$a-1$，令$a-1=2$，解得$a=3$，符合$1≤3≤4$；
③ 若$a＞4$，则在区间$1≤x≤4$上，函数在$x=4$处取得最小值，代入得：
$(4-a)^2 +a -1=2$，整理得$a^2 -7a +13=0$，判别式$\Delta=49-52=-3＜0$，无实数解。
综上，$a$的值为$-1$或$3$。
【答案】
(1) $y=(x-2)^2 +1$或$y=(x+1)^2 -2$；(2) $a=-1$或$3$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基本应用，第(1)问为基础的待定系数法求解析式，第(2)问需结合二次函数的开口方向和对称轴位置，分类讨论区间内的最小值，是二次函数最值问题的常考题型，需注意分类的完整性和解的合理性筛选。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需结合二次函数顶点式的性质、抛物线的对称性，逐一分析各选项：首先根据二次函数顶点式确定对称轴，再利用抛物线与x轴交点关于对称轴对称的特点求点A坐标，接着结合图像判断开口方向、函数增减性，从而选出正确选项。
【解析】
1. 确定对称轴：二次函数解析式为$y=a(x+2)^2+k$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$中$h=-2$，因此对称轴为直线$x=-2$，选项D正确。
2. 求点A坐标：抛物线与x轴交于A、B两点，两点关于对称轴$x=-2$对称。已知B点坐标为$(-1,0)$，点B到对称轴的距离为$|-1 - (-2)|=1$，则点A到对称轴的距离也为1，且在对称轴左侧，故点A横坐标为$-2 -1=-3$，即A点坐标为$(-3,0)$，选项B错误。
3. 判断$a$的符号：由图像可知抛物线开口向上，因此$a＞0$，选项A错误。
4. 判断函数增减性：对称轴为$x=-2$，抛物线开口向上，故当$x＞-2$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＜0$时，包含$-2＜x＜0$区间，此区间内$y$随$x$增大而增大，选项C错误。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、抛物线对称性、二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心是利用顶点式确定对称轴，结合对称性求交点，再判断开口方向与增减性，属于常规基础题，需熟练掌握二次函数顶点式的特点及图像性质。
【难度系数】
0.6
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