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C
$1≤ t＜5$
6
解：
(1) 由题意，得$(1-2)^2+m=0，$解得$m=-1。$
∴二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1。$
∴该二次函数图象的对称轴为直线$x=2。$
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-1=3，$
∴点$C$的坐标为$(0,3)。$
∵点$B$与点$C$关于直线$x=2$对称，
∴点$B$的坐标为$(4,3)。$
将$A(1,0)，$$B(4,3)$代入$y=kx+b\ (k≠0)，$得
$\begin{cases} k+b=0, \\ 4k+b=3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1, \\ b=-1. \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=x-1。$
(2) 存在。
易知点$P$在直线$AB$上方。过点$C$作$CP// AB$交抛物线于点$P，$连接$AP，$$BP，$此时$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}。$
∵直线$AB$对应的函数解析式为$y=x-1，$$CP// AB，$
∴设直线$CP$对应的函数解析式为$y=x+b'。$
把$C(0,3)$代入，得$b'=3，$
∴$y=x+3。$
联立方程组，得
$\begin{cases} y=x+3, \\ y=(x-2)^2-1, \end{cases}$
即$x+3=(x-2)^2-1，$
解得$x_1=0$(舍去)，$x_2=5。$
当$x=5$时，$y=8，$
∴点$P$的坐标为$(5,8)。$
$-1$
$4$
解：
易知抛物线经过点$(h+\frac{1}{2}k,\frac{1}{2}k)，$
∴$\frac{1}{2}k=a(h+\frac{1}{2}k-h)^2+k，$
整理得$k(ak+2)=0。$
∵$k＞0，$
∴$ak=-2。$
∴$a,k$之间的数量关系为$ak=-2。$
【分析】本题是关于二次函数性质的应用，首先确定二次函数的开口方向和对称轴，再利用“开口向上时，函数值越大的点离对称轴越远”的性质，将函数值的大小关系转化为两点到对称轴的距离关系，进而解不等式得到a的取值范围。
【解析】二次函数$y=(x-3)^2+2m+1$的图象开口向上，对称轴为直线$x=3$。
对于开口向上的二次函数，函数值越大，对应点到对称轴的距离越远。
已知$y_1＞y_2$，则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即：
$|(a-1)-3| ＞ |(a+1)-3|$，化简得$|a-4| ＞ |a-2|$。
两边平方得：$(a-4)^2 ＞ (a-2)^2$，
展开得：$a^2 -8a +16 ＞ a^2 -4a +4$，
移项合并同类项得：$-4a +12 ＞0$，
解得：$a ＜3$。
【答案】C
【知识点】二次函数的性质、绝对值不等式
【点评】本题考查二次函数的基本性质，核心是利用开口方向与点到对称轴距离的关系转化条件，属于基础题型，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决本题，需先明确二次函数的性质：该函数为顶点式，先确定开口方向和对称轴，再根据开口向下的抛物线的单调性（对称轴右侧y随x增大而减小），结合题目中x的区间范围，分析t的取值边界。步骤如下：1. 由二次函数的顶点式确定开口方向和对称轴；2. 确定函数的单调区间；3. 根据题目中y随x变化的区间要求，推导t的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2+2$，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$。
开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而增大。
题目要求当$t＜ x＜5$时，$y$随$x$的增大而减小，说明区间$(t,5)$必须完全落在对称轴右侧（$x＞1$）的范围内，因此左端点$t$需满足$t≥1$；同时区间$(t,5)$要有意义，需满足$t＜5$。
综上，实数$t$的取值范围是$1≤ t＜5$。
【答案】
$1≤ t＜5$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的单调性
【点评】
本题考查二次函数的单调性应用，核心是掌握开口向下的抛物线在对称轴右侧的变化规律，需结合区间范围确定参数边界，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
【分析】首先利用二次函数的对称性，找到函数值相等的两个点确定对称轴，再设二次函数的顶点式，代入已知点求出解析式，最后将x=-1代入解析式计算m的值。
【解析】二次函数图象上，函数值相等的两个点关于对称轴对称，观察表格得x=0时y=3，x=2时y=3，因此对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+k$。
将$x=1$，$y=2$代入得：$a(1-1)^2 +k=2$，解得$k=2$；
将$x=0$，$y=3$，$k=2$代入得：$a(0-1)^2 +2=3$，即$a+2=3$，解得$a=1$；
因此函数解析式为$y=(x-1)^2+2$，当$x=-1$时，$m=(-1-1)^2+2=4+2=6$。
【答案】6
【知识点】二次函数的对称性、二次函数的解析式
【点评】本题考查二次函数的对称性与顶点式的应用，利用对称点确定对称轴是解题核心，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【分析】
首先，第(1)问利用待定系数法，将点A代入二次函数解析式求出参数m，得到二次函数解析式；再根据二次函数对称轴求出点C坐标，利用对称性得到点B坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式。第(2)问中，因△ABP与△ABC面积相等且AB为公共边，故P到直线AB的距离等于C到AB的距离，据此过C作AB的平行线，联立该直线与抛物线方程即可求出点P坐标。
【解析】
(1) 将点A(1,0)代入二次函数$y=(x-2)^2+m$，得：
$(1-2)^2 + m = 0$，解得$m=-1$，
因此二次函数的解析式为$y=(x-2)^2 -1$。
二次函数的对称轴为直线$x=2$，当$x=0$时，$y=(0-2)^2 -1=3$，故点C坐标为$(0,3)$。
因为点B与点C关于直线$x=2$对称，所以点B的横坐标为$2×2 -0=4$，纵坐标为3，即B(4,3)。
将A(1,0)、B(4,3)代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k + b = 0 \\4k + b =3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1 \\b=-1\end{cases}$，
因此一次函数的解析式为$y=x-1$。
(2) 存在点P使得$S_{△ABP}=S_{△ABC}$，理由如下：
因为$S_{△ABP}=S_{△ABC}$，且AB为公共边，所以点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离。
过点C作直线$CP // AB$，交抛物线于点P，此时满足条件。
已知直线AB的解析式为$y=x-1$，设直线CP的解析式为$y=x+b'$，将C(0,3)代入得$b'=3$，故直线CP的解析式为$y=x+3$。
联立直线CP与抛物线的方程：
$\begin{cases}y=x+3 \\y=(x-2)^2 -1\end{cases}$，
整理得$x^2 -5x=0$，解得$x_1=0$（对应点C，舍去），$x_2=5$。
当$x=5$时，$y=5+3=8$，故点P的坐标为(5,8)。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$y=(x-2)^2 -1$，一次函数解析式为$y=x-1$；
(2) 存在，点P的坐标为(5,8)

【知识点】
二次函数解析式、一次函数解析式、三角形面积
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数对称性、平行线性质及三角形面积转化，解题关键是将面积相等转化为点到直线的距离相等，通过联立方程求解交点，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先明确“美丽抛物线”的定义：以抛物线顶点$A(h,k)$与对称轴和$x$轴交点$C(h,0)$的线段$AC$为对角线作正方形$ABCD$，$AC$垂直于$x$轴，长度为$k$；根据正方形对角线的性质，其垂直平分线为$y=\frac{k}{2}$，且$B$、$D$两点到$AC$中点的水平距离为$\frac{k}{2}$，因此$B$、$D$的坐标为$(h\pm\frac{k}{2},\frac{k}{2})$。由于$B$、$D$在抛物线上，将其代入抛物线解析式即可求解相关参数关系。
【解析】
(1) 抛物线$y=ax^2+2$中，$h=0$，$k=2$，故$B$点坐标为$(-1,1)$，代入解析式得：
$1=a·(-1)^2+2$，解得$a=-1$。
(2) 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+k$中，$h=1$，$D$点坐标为$(1+\frac{k}{2},\frac{k}{2})$，代入解析式得：
$\frac{k}{2}=-\frac{1}{2}·(\frac{k}{2})^2 +k$，整理得$k^2-4k=0$，因$k＞0$，故$k=4$。
(3) 抛物线$y=a(x-h)^2+k$中，取$D(h+\frac{k}{2},\frac{k}{2})$代入解析式得：
$\frac{k}{2}=a·(\frac{k}{2})^2 +k$，整理得$ak^2=-2k$，因$k＞0$，两边除以$k$得$ak=-2$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $4$；(3) $ak=-2$
【知识点】
二次函数性质，正方形性质，坐标与图形结合
【点评】
本题为新定义题型，核心是利用正方形对角线性质确定抛物线上点的坐标，通过代入二次函数解析式建立方程求解，体现数形结合思想，需准确理解新定义并灵活运用二次函数的点代入法。
【难度系数】
0.4
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