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B
C
D
C
D
B
＜
-4
$2\sqrt{10}$
直线$x=-2$
【分析】
要判断函数$y=mx^2+nx+p$的类型，需紧扣二次函数、一次函数的定义，核心是看二次项系数、一次项系数是否为0，常数项不影响函数类型。逐个分析选项时，需依据定义中对系数的限制条件排除错误选项。
【解析】
解：逐一分析各选项：
选项A：当$m=0$时，函数可能是一次函数或常数函数，不一定是二次函数，故A错误；
选项B：当$m=0$且$n≠0$时，函数变为$y=nx+p$，符合一次函数$y=kx+b(k≠0)$的形式，为一次函数，故B正确；
选项C：二次函数的定义要求二次项系数$m≠0$，一次项系数$n$可以为0（如$y=x^2$仍是二次函数），并非$n≠0$，故C错误；
选项D：若函数是二次函数，只需$m≠0$，$n$和$p$可以为0（如$y=x^2$中$m=1≠0$，$n=p=0$，$mnp=0$），故D错误。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义
【点评】
本题考查函数类型的判定，关键是掌握二次函数、一次函数定义中对系数的限制条件，需注意常数项不影响函数类型，二次函数仅要求二次项系数不为0，一次函数要求一次项系数不为0且二次项系数为0，属于基础概念题。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决抛物线平移的问题，需先明确抛物线平移的核心规律：对于抛物线的一般形式，上下平移改变常数项，遵循“上加下减”（常数项加对应向上平移，减对应向下平移）；左右平移改变自变量的部分，遵循“左加右减”。本题中两个抛物线的二次项系数相同，说明仅发生上下平移，只需对比常数项的变化即可判断平移方向。
【解析】
原抛物线为$y=-2x^2$，可整理为$y=-2x^2+0$；平移后的抛物线为$y=-2x^2+3$。对比两个式子，二次项和自变量部分均未变化，仅常数项从0变为3，增加了3。根据“上加下减”的平移规则，常数项增加3对应抛物线向上平移3个单位长度，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
抛物线的平移规律
【点评】
本题考查抛物线的基础平移，核心是掌握“上加下减，左加右减”的平移规则，属于简单的概念应用题目，只要牢记规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【分析】首先观察图像，抛物线与x轴仅有一个交点A(-1,0)，说明抛物线的顶点就是点A，因此可利用二次函数的顶点式设解析式，再结合已知点B(0,4)代入解析式即可求出a的值。
【解析】因为抛物线的顶点为A(-1,0)，所以设抛物线的解析式为$ y = a(x + 1)^2 $。将点B(0,4)代入解析式，得：$ 4 = a(0 + 1)^2 $，解得$ a = 4 $。
【答案】D
【知识点】二次函数顶点式、二次函数图像性质
【点评】本题考查二次函数顶点式的应用，核心是根据图像确定抛物线的顶点坐标，再代入已知点求解参数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【分析】
要解决这道题，需先明确二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向上的抛物线的增减性，结合题目中“当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小”的条件，推导$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2 -1$：
1. 二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，故本题对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜m$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞m$）时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 题目要求$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，说明区间$x＜1$需完全在对称轴左侧（或包含对称轴），即$m≥1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数的顶点式
【点评】
本题考查二次函数的增减性，核心是掌握开口向上的抛物线的增减规律，结合题目条件确定对称轴位置，属于基础题型，需熟练掌握顶点式的性质。
【难度系数】
0.5
【分析】要比较二次函数上三点的函数值大小，需先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据“开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大”的性质，计算各点到对称轴的距离即可判断函数值关系。
【解析】解：对于二次函数$y = mx^2 - 2mx + 1(m ＞ 0)$，
1. 求对称轴：根据二次函数对称轴公式$x = -\frac{b}{2a}$，其中$a=m$，$b=-2m$，代入得对称轴$x = -\frac{-2m}{2m}=1$；
2. 判断开口方向：因为$m＞0$，所以该二次函数开口向上；
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$P_1(-1,y_1)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert -1 -1\vert=2$；
点$P_2(\frac{5}{2},y_2)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert \frac{5}{2} -1\vert=\frac{3}{2}=1.5$；
点$P_3(6,y_3)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert6 -1\vert=5$；
4. 比较距离得函数值大小：距离大小为$5＞2＞1.5$，结合开口向上的性质，得$y_3＞y_1＞y_2$。
【答案】D
【知识点】二次函数的性质、对称轴、函数值比较
【点评】本题考查二次函数的核心性质，关键是掌握开口方向、对称轴与函数值的关系，属于基础题型，需熟练运用对称轴公式解题。
【难度系数】0.3
【分析】
要解决本题，需先利用正方形的性质求出点D的坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式求解k值。首先根据正方形邻边垂直且相等的性质，设出D点坐标，通过向量垂直（点积为0）和邻边长度相等列方程，联立求出D点坐标；结合图形确定符合位置的D点后，代入抛物线计算k。
【解析】
设点D的坐标为(x,y)，因为四边形ABCD是正方形，所以AD ⊥ CD且AD=CD。
1. 由AD ⊥ CD，向量$\overrightarrow{AD}=(x+1,y-5)$，$\overrightarrow{CD}=(x-2,y)$，则它们的点积为0：
(x+1)(x-2) + y(y-5)=02. 由AD=CD，得：$ (x+1)^2 + (y-5)^2 = (x-2)^2 + y^2$
化简该方程：
$ x^2+2x+1 + y^2-10y+25 = x^2-4x+4 + y^2 $整理得：6x -10y +22=0，即3x -5y +11=0，解得$x=\frac{5y-11}{3}$。3. 将$x=\frac{5y-11}{3}$代入点积为0的方程：$ (\frac{5y-8}{3})(\frac{5y-17}{3}) + y(y-5)=0$
两边乘9化简得：$34y^2 -170y +136=0$，即$y^2-5y+4=0$，解得y=1或y=4。
4. 对应x的值：当y=1时，x=-2；当y=4时，x=3。结合图形，D点在x轴正半轴右侧，故取D(3,4)。
5. 将D(3,4)代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +kx$：
$ 4=\frac{1}{3}×3^2 +3k $计算得：4=3+3k，解得$k=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、二次函数解析式、坐标与图形性质
【点评】
本题结合正方形性质与二次函数知识，核心是利用正方形邻边垂直且相等的特点求出点D坐标，再代入抛物线求参数，考查几何与代数的结合应用，需掌握坐标与图形的转化方法。
【难度系数】
0.5
【分析】
第7题：要比较m和n，可将A、B两点的横坐标代入抛物线解析式，计算出对应的函数值后直接比较大小；第8题：二次函数开口向上，其最小值为顶点的纵坐标，结合图像确定抛物线与x轴的交点，求出对称轴后计算顶点纵坐标即可得到最小值。
【解析】
7. 将A(1,m)代入抛物线$y=(x-2)^2$，得$m=(1-2)^2=1$；将B(4,n)代入该抛物线，得$n=(4-2)^2=4$。因为$1＜4$，所以$m＜n$。
8. 由二次函数$y=x^2+bx+c$的图像可知，抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(4,0)$，对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。将交点$(0,0)$代入函数得$c=0$，将$(4,0)$代入得$16+4b=0$，解得$b=-4$，因此函数解析式为$y=x^2-4x$。对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=1$，$b=-4$，$c=0$，得$\frac{0-16}{4}=-4$，即该函数的最小值为$-4$。
【答案】
7. ＜；8. -4
【知识点】
二次函数的解析式；二次函数的最值
【点评】
本题为二次函数基础题型，分别考查了二次函数上点的坐标特征和二次函数最值的求法，解题思路清晰，计算简单，属于学生应掌握的基础内容。
【难度系数】
0.5
【分析】
要计算OP的长度，需先根据抛物线顶点式的性质确定顶点P的坐标，再利用两点间距离公式计算原点O与P的距离。
【解析】
解：抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，因此抛物线$y=a(x-2)^2+6$的顶点P的坐标为$(2,6)$。
已知O为坐标原点，即$O(0,0)$，根据两点间距离公式：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入得：
$OP=\sqrt{(2-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
抛物线顶点坐标、两点间距离公式
【点评】
本题考查抛物线顶点式的性质和两点间距离公式的应用，属于基础题型，关键是准确获取顶点坐标并正确运用距离公式计算。
【难度系数】
0.8
【分析】要确定二次函数的对称轴，可利用二次函数的对称性：若二次函数图象上两点的函数值相等，则这两点关于对称轴对称，对称轴为这两点横坐标的平均值。题目中给出两个等式对应了两个x值的函数值相等，直接代入公式计算即可。
【解析】对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$x=2$时，$y=4a+2b+c=5$；当$x=-6$时，$y=36a-6b+c=5$，即$f(2)=f(-6)=5$。根据二次函数的对称性，函数值相等的两点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{2+(-6)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$。
【答案】直线$x=-2$
【知识点】二次函数对称性；二次函数对称轴
【点评】本题考查二次函数的对称性，无需计算$a、b、c$的具体值，利用对称点的性质快速求出对称轴，解题方法简洁，体现了二次函数图象性质的灵活应用。
【难度系数】0.5
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