解：
(1) 把$A(1,-2)，$$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c，$得
$\begin{cases}1+b+c=-2\\c=-5\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2\\c=-5\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5。$
∵$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6，$
∴图象的顶点坐标为$(-1,-6)。$
(2) 易得点$A(1,-2)$关于对称轴直线$x=-1$的对称点为$C(-3,-2)，$
∴当$y≤-2$时，$x$的取值范围是$-3≤ x≤1。$
解：
(1) 抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x-3)^2-3。$
(2) 动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由如下：
由
(1)知抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x-3)^2-3，$
∴函数的最小值为$-3。$
∵$-6＜-3，$
∴动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。
(3) $y_1＞y_2，$理由如下：
∵抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=(x-3)^2-3，$
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线$x=3。$
∴当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$A(m,y_1)，$$B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0＜3，$
∴$y_1＞y_2。$
解：
(1) 由抛物线对应的函数解析式知，点$B$的纵坐标$y_B=-5，$则$OB=5。$
∵$5OA=OB=OC，$
∴$OA=1，$$OC=5。$
∴点$A，$$C，$$B$的坐标分别为$(1,0)，$$(-5,0)，$$(0,-5)。$
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)(x+5)=a(x^2+4x-5)=ax^2+4ax-5a=ax^2+bx-5，$
则$-5a=-5，$即$a=1。$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+4x-5。$
(2) 点$A$关于抛物线的对称轴直线$x=-2$对称的点为$C，$则$BC$交抛物线的对称轴于点$M，$此时$△ ABM$的周长最小。
由点$B，$$C$的坐标易得直线$BC$对应的函数解析式为$y=-x-5，$
当$x=-2$时，$y=-3，$
∴点$M$的坐标为$(-2,-3)。$
(3) 设$P(x,-x-5)，$则$Q(x,x^2+4x-5)。$
∴$PQ=(-x-5)-(x^2+4x-5)=-x^2-5x。$
∵$PQ// OB，$
∴当$PQ=OB$时，满足条件，即$-x^2-5x=5，$
解得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}。$
∴点$P$的坐标为$(\frac{-5+\sqrt{5}}{2},\frac{-5-\sqrt{5}}{2})$或$(\frac{-5-\sqrt{5}}{2},\frac{-5+\sqrt{5}}{2})。$
【分析】 本题分为两小问，第(1)问利用待定系数法，将已知点A、B的坐标代入二次函数解析式，求解系数b、c，再通过配方得到顶点坐标；第(2)问利用二次函数的对称性，找到点A关于对称轴的对称点，结合图像确定y≤-2时x的取值范围。 【解析】 (1) 将点A(1,-2)、B(0,-5)代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得方程组： $\begin{cases}1 + b + c = -2 \\ c = -5\end{cases}$ 将$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$，因此二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5$。 将解析式配方：$y=x^2+2x-5=(x+1)^2 - 6$，所以顶点坐标为$(-1,-6)$。 (2) 二次函数$y=x^2+2x-5$的对称轴为直线$x=-1$，点A(1,-2)关于对称轴$x=-1$的对称点为$C(-3,-2)$，结合图像可知，当$y≤-2$时，$x$的取值范围是$-3≤x≤1$。 【答案】 (1) 二次函数解析式为$y=x^2+2x-5$，顶点坐标为$(-1,-6)$； (2) $x$的取值范围是$-3≤x≤1$  【知识点】 二次函数解析式、二次函数顶点坐标、二次函数对称性 【点评】 本题考查二次函数的基础应用，需掌握待定系数法求解析式、配方求顶点，以及利用对称性确定函数值对应的自变量范围，属于常规基础题。 【难度系数】 0.7
【分析】
本题主要考查二次函数的平移规律及图像性质，解题思路如下：
1. 处理抛物线平移问题时，先将原抛物线化为顶点式，再依据“左加右减，上加下减”的平移规则，逐步推导平移后的解析式；
2. 判断动点是否在抛物线上，可通过分析抛物线的最值：开口向上时，函数最小值为顶点纵坐标，若点的纵坐标小于该最小值，则点不在抛物线上；
3. 比较抛物线上两点的函数值大小，需先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据对称轴两侧的增减性，结合两点横坐标的范围判断函数值的大小关系。
【解析】
(1) 先将抛物线$ C_1: y=x^2+2x+3 $配方化为顶点式：
$ y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2 $，
根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，向右平移4个单位长度，即将$ x $替换为$ x-4 $，得：
$ y=(x+1-4)^2+2=(x-3)^2+2 $，
再向下平移5个单位长度，即将常数项减5，得：
$ y=(x-3)^2+2-5=(x-3)^2-3 $，
故抛物线$ C_2 $的函数解析式为$ y=(x-3)^2-3 $。
(2) 由(1)知抛物线$ C_2 $的解析式为$ y=(x-3)^2-3 $，该抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-3$，因此函数的最小值为$-3$。
因为动点$ P(a,-6) $的纵坐标$-6 ＜ -3$，小于函数的最小值，所以动点$ P(a,-6) $不在抛物线$ C_2 $上。
(3) 由(1)知抛物线$ C_2 $的解析式为$ y=(x-3)^2-3 $，该抛物线开口向上，对称轴为直线$ x=3 $。
根据二次函数的性质：当$ x ＜ 3 $时，$ y $随$ x $的增大而减小。
已知点$ A(m,y_1) $、$ B(n,y_2) $都在抛物线$ C_2 $上，且$ m ＜ n ＜ 0 ＜ 3 $，即两点都在对称轴$ x=3 $的左侧，因此$ y_1 ＞ y_2 $。
【答案】
(1) $ y=(x-3)^2-3 $；
(2) 动点$ P(a,-6) $不在抛物线$ C_2 $上；
(3) $ y_1 ＞ y_2 $。
【知识点】
抛物线的平移；二次函数的图像与性质
【点评】
本题考查二次函数的平移规律、最值及增减性，属于二次函数的基础应用题型，需熟练掌握顶点式平移规则和图像性质，难度适中。
【难度系数】
0.3
【分析】
1. 第(1)问：先根据抛物线解析式确定B点坐标，由OB=5，结合5OA=OB=OC算出OA、OC的长度，得到A、C两点坐标，再用交点式设抛物线解析式，代入求解得函数式。
2. 第(2)问：△ABM的周长=AB+AM+BM，AB为定值，要使周长最小，需AM+BM最小，利用对称点性质，A关于抛物线对称轴的对称点为C，连接BC与对称轴的交点即为M，求出BC的直线解析式，代入对称轴横坐标得M坐标。
3. 第(3)问：四边形OBQP为平行四边形，因OB//PQ，故只需PQ=OB，先求BC的直线解析式，设P、Q的坐标，计算PQ的长度，令其等于OB=5，解方程得x，进而得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+bx-5$，当$x=0$时，$y=-5$，故$B(0,-5)$，则$OB=5$。
由$5OA=OB=OC$，得$OA=1$，$OC=5$，结合图像知$A(1,0)$，$C(-5,0)$。
设抛物线解析式为$y=a(x-1)(x+5)$，展开得$y=ax^2+4ax-5a$，对比$y=ax^2+bx-5$，得$-5a=-5$，解得$a=1$，故抛物线解析式为$y=x^2+4x-5$。
(2) 抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$。
要使$△ ABM$周长最小，因$AB$为定长，需$AM+BM$最小，A关于对称轴的对称点为C，故连接BC，BC与对称轴的交点即为M。
设直线BC解析式为$y=kx+m$，代入$B(0,-5)$、$C(-5,0)$，得$\begin{cases}m=-5\\-5k+m=0\end{cases}$，解得$k=-1$，$m=-5$，故直线BC：$y=-x-5$。
当$x=-2$时，$y=-(-2)-5=-3$，故$M(-2,-3)$。
(3) 设$P(x,-x-5)$，因Q在抛物线上且横坐标与P相同，故$Q(x,x^2+4x-5)$。
四边形OBQP为平行四边形，$OB// PQ$，故需$PQ=OB=5$。
计算$PQ=(-x-5)-(x^2+4x-5)=-x^2-5x$，令$-x^2-5x=5$，整理得$x^2+5x+5=0$，解得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}$。
代入P的解析式，得P点坐标为$(\frac{-5+\sqrt{5}}{2},\frac{-5-\sqrt{5}}{2})$或$(\frac{-5-\sqrt{5}}{2},\frac{-5+\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1) $y=x^2+4x-5$；
(2) $(-2,-3)$；
(3) $(\frac{-5+\sqrt{5}}{2},\frac{-5-\sqrt{5}}{2})$、$(\frac{-5-\sqrt{5}}{2},\frac{-5+\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
二次函数解析式、最短路径问题、平行四边形性质
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了坐标求解、对称求最短路径、平行四边形性质等知识点，需熟练掌握二次函数基本性质及几何图形的判定与性质，综合性较强，对学生的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
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