第64页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

$y=-\frac{4}{x}$

$y_2＜y_1＜y_3$

 解：

 (1) 由题意，得$m=3×(-\frac{4}{3})=-4。$

 (2) $\because m=-4，$$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}。$

 $\because -4＜0，$$\therefore$ 函数图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。

 (3) $\because y=-\frac{4}{x}，$$\therefore$ 当$x=-3$时，$y=\frac{4}{3}；$当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=8。$

 $\therefore$ 易得当$-3≤ x≤ -\frac{1}{2}$时，$\frac{4}{3}≤ y≤ 8。$

C

【分析】这道题需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的性质，逐一分析各选项判断正误：首先明确本题中$k=2＞0$，再依据“$k＞0$时图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$增大而减小，图象上点满足$xy=k$”的性质，逐个验证选项，找出不正确的说法。
【解析】对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，根据反比例函数的性质：
1. 图象上任意点$(x,y)$满足$xy=2$：当$x=-1$时，$y=\frac{2}{-1}=-2$，故图象过点$(-1,-2)$，选项A正确；
2. 当$k＞0$时，反比例函数图象在第一、第三象限，选项B正确；
3. 当$x＞1$时，对$y=\frac{2}{x}$，两边同除以正数$x$得$0＜\frac{2}{x}＜2$，即$0＜y＜2$，选项C正确；
4. 当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$时图象在第三象限，故$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，选项D错误。
综上，不正确的说法是选项D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题为教材变式基础题，考查反比例函数的核心性质，需熟练掌握$k$值对图象位置和增减性的影响，以及图象上点与函数式的对应关系，是巩固反比例函数知识点的典型题目。
【难度系数】0.3

【分析】首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$，当比例系数$a＜0$时，在图象的每个分支上，$y$随$x$的增大而增大；当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题中函数为$y=\frac{k-3}{x}$，需根据“每个分支上$y$随$x$增大而增大”的条件，求出$k$的取值范围，再结合选项选出符合的答案。
【解析】解：对于反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$，因为在它图象的每个分支上，$y$都随$x$的增大而增大，所以比例系数满足：$k - 3 ＜ 0$，解得$k ＜ 3$。观察选项：A.6＞3，B.5＞3，C.4＞3，D.2＜3，只有D选项符合条件。
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数的增减性，属于教材变式基础题，只需掌握反比例函数比例系数与增减性的对应关系即可快速解题，难度较低。
【难度系数】0.8

【分析】
要判断反比例函数上两点的纵坐标大小，需先明确反比例函数增减性的适用条件：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。题目仅给出$a＜b$，未说明$a$、$b$的正负，因此需分情况讨论两点所在象限，才能确定$m$、$n$的大小关系，不能直接根据$a＜b$判断。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{7}{x}$，其中$k=7＞0$，其图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
分三种情况讨论：
1. 若$a＜b＜0$，则点$A(a,m)$、$B(b,n)$都在第三象限，由增减性得：$m＞n$；
2. 若$0＜a＜b$，则点$A(a,m)$、$B(b,n)$都在第一象限，由增减性得：$m＞n$；
3. 若$a＜0＜b$，则点$A(a,m)$在第三象限，$m=\frac{7}{a}＜0$；点$B(b,n)$在第一象限，$n=\frac{7}{b}＞0$，此时$m＜n$。
由于$a$、$b$的正负不确定，因此无法确定$m$、$n$的大小关系，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题为易错题，易错点是忽略反比例函数增减性的前提条件“在同一象限内”，直接由$a＜b$得出$m＞n$，导致错选。解题时需全面考虑自变量的正负，分情况讨论，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决这个问题，需结合反比例函数的定义和性质分析：首先，反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k≠0$），因此自变量的指数需为$-1$，且比例系数不为0；其次，反比例函数图象每一支上$y$随$x$增大而增大时，比例系数$k＜0$。据此先求出$m$的可能值，再结合$k＜0$确定$m$的取值，最终得到解析式。
【解析】
1. 根据反比例函数的定义，自变量的指数为$-1$，可得：
$m^2 - 2 = -1$
解得$m^2 = 1$，即$m=1$或$m=-1$。
2. 反比例函数的比例系数$k=3m - 1$，因图象每一支上$y$随$x$增大而增大，故$k＜0$：
$3m - 1 ＜ 0$
解得$m ＜ \frac{1}{3}$。
3. 结合$m=1$或$m=-1$，满足$m ＜ \frac{1}{3}$的是$m=-1$。
4. 将$m=-1$代入比例系数，得$k=3×(-1)-1=-4$，因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{4}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数的定义与性质，需同时满足指数条件、系数非零及增减性对应的系数符号，是反比例函数的基础题型，需注意区分正比例函数与反比例函数的形式差异，避免忽略定义中的指数要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
要比较反比例函数图象上点的纵坐标大小，首先需确定反比例函数的比例系数符号，明确函数的图象分布和单调性；再根据三个点的横坐标判断所在象限，结合象限内的函数性质比较y值。
【解析】
因为k为常数，所以$k^2≥0$，因此$k^2+2≥2＞0$，即反比例函数$y=\dfrac{k^2+2}{x}$的比例系数大于0，其图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
对于三个点的横坐标：$-2＜0$，$-1＜0$，故点$(-2,y_1)$、$(-1,y_2)$在第三象限，该象限内的y值均为负数；$\dfrac{1}{2}＞0$，故点$(\dfrac{1}{2},y_3)$在第一象限，该象限内的y值为正数，因此$y_3$是三个值中最大的。
在第三象限中，由于$-2 ＜ -1$，且该象限内y随x的增大而减小，所以对应的函数值满足$y_1 ＞ y_2$，即$y_2 ＜ y_1$。
综上，$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
【知识点】
反比例函数的性质、数形结合思想
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质，核心是利用比例系数的符号确定函数的象限分布和单调性，结合点的坐标特征比较函数值，体现了数形结合思想的应用，属于基础中档题，需熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题分三个小问题逐步解决：
1. 求m的值：利用反比例函数图象上的点满足函数解析式，将已知点坐标代入$y=\dfrac{m}{x}$，计算得到m；
2. 判断图象象限和增减性：根据反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（k≠0）的性质，结合m的正负确定k，进而判断图象所在象限和y随x的变化规律；
3. 求y的取值范围：代入x的两个端点值计算对应y，再结合同一象限内y随x的增减性，确定y的范围。
【解析】
(1) 因为反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象经过点$(3,-\dfrac{4}{3})$，将点代入解析式得：
$-\dfrac{4}{3}=\dfrac{m}{3}$，两边同乘3，解得$m=3×(-\dfrac{4}{3})=-4$；
(2) 由(1)知$m=-4$，则反比例函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$，根据反比例函数性质，函数图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大；
(3) 当$x=-3$时，代入$y=-\dfrac{4}{x}$得：$y=-\dfrac{4}{-3}=\dfrac{4}{3}$；当$x=-\dfrac{1}{2}$时，代入得：$y=-\dfrac{4}{-\dfrac{1}{2}}=8$；因为$x=-3$和$x=-\dfrac{1}{2}$都在第二象限，且该象限内y随x增大而增大，又$-3＜-\dfrac{1}{2}$，所以对应的y值满足$\dfrac{4}{3}≤y≤8$。
【答案】
(1) $m=-4$；
(2) 图象位于第二、第四象限，每一个象限内y随x增大而增大；
(3) $\dfrac{4}{3}≤y≤8$
【知识点】
反比例函数的解析式、反比例函数的图像性质
【点评】
本题为教材变式基础题，考察反比例函数核心知识点，包括待定系数法求解析式、图象性质应用、自变量范围对应的函数值范围，题型典型，需熟练掌握反比例函数的基本规律。
【难度系数】
0.7

【分析】要判断△OAB的面积变化，需结合三角形面积公式和反比例函数的性质。△OAB的底OA是x轴上的定点，长度固定，其面积由点B到x轴的距离（即B点的纵坐标）决定，因为三角形面积=1/2×底×高，这里高就是B点的纵坐标y。而点B在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数的性质，当$x＞0$时，y随x的增大而减小，由此可判断面积的变化。
【解析】设OA的长度为定值$a$（A是定点，故$a$不变），点B的坐标为$(x, y)$，因为B在函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$上，所以$y=\dfrac{3}{x}$。△OAB的面积$S=\dfrac{1}{2}×OA×y=\dfrac{1}{2}×a×\dfrac{3}{x}=\dfrac{3a}{2x}$。当点B的横坐标$x$逐渐增大时，分母$x$增大，分子$3a$为定值，因此$S$的值逐渐减小，即△OAB的面积逐渐减小。
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质、三角形面积计算
【点评】本题结合反比例函数图象性质与三角形面积公式，考查学生对反比例函数增减性的应用能力，关键是明确面积与B点纵坐标的关系，属于基础题型。
【难度系数】0.6