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B
$6$
$\frac{8}{3}$
解：
(1) 由题意，得$2(m+2)=3×\frac{m}{3}，$
解得$m=-4。$
(2) 由
(1)，得$m=-4，$$\therefore A(-2,2)，$$B(3,-\frac{4}{3})。$
设反比例函数的解析式为$y=\frac{n}{x}(n≠0)。$
$\because$ 点$A(-2,2)$在反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象上，
$\therefore 2=\frac{n}{-2}，$解得$n=-4，$$\therefore y=-\frac{4}{x}。$
列表如下：

(3) 作直线$AB，$交$y$轴于点$C，$连接$OA，$$OB。$
设直线$AB$对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)。$
$\because$ 点$A(-2,2)，$$B(3,-\frac{4}{3})$在直线$y=kx+b(k≠0)$上，
$\therefore \begin{cases} -2k+b=2, \\ 3k+b=-\frac{4}{3}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\frac{2}{3}, \\ b=\frac{2}{3}. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}。$
令$x=0，$得$y=\frac{2}{3}，$$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,\frac{2}{3})。$
$\therefore$ 以$A,O,B$三点为顶点的三角形的面积为
$S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|-2|+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×3=\frac{5}{3}。$
解：
(1) 由题意，得$\begin{cases} 6m=n, \\ n-m=5, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=1, \\ n=6. \end{cases}$
$\therefore m,n$的值分别为$1,6，$即$A(1,6)，$$B(6,1)。$
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)。$
$\because$ 点$A(1,6)$在反比例函数的图象上，
$\therefore 6=\frac{k}{1}，$解得$k=6。$
$\therefore$ 该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}。$
(2) 存在。由题意易得$D(1,0)，$$C(6,0)。$
在线段$DC$上取一点$E，$连接$AE,BE，$设点$E$的坐标为$(a,0)，$则$DE=a-1，$$CE=6-a。$
$\because AD⊥ x$轴，$BC⊥ x$轴，$\therefore ∠ ADE=∠ BCE=90°。$
$\therefore S_{△ ABE}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BCE}$
$=\frac{1}{2}(BC+AD)· DC-\frac{1}{2}DE· AD-\frac{1}{2}CE· BC$
$=\frac{1}{2}×(1+6)×5-\frac{1}{2}(a-1)×6-\frac{1}{2}(6-a)×1$
$=\frac{35}{2}-\frac{5}{2}a=5，$
解得$a=5，$$\therefore$ 点$E$的坐标为$(5,0)。$
$\because D(1,0),C(6,0)，$$1＜5＜6，$$\therefore$ 点$E(5,0)$在线段$DC$上。
$\therefore$ 在线段$DC$上存在一点$E，$使$△ ABE$的面积为$5，$点$E$的坐标为$(5,0)。$
【分析】
要判断函数$y=kx-k$与$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图像，需分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别分析两个函数的图像特征，再结合选项逐一验证：
1. 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$：当$k＞0$时，图像在一、三象限；当$k＜0$时，图像在二、四象限。
2. 一次函数$y=kx-k$：可变形为$y=k(x-1)$，斜率为$k$，截距为$-k$。当$k＞0$时，斜率为正（直线从左下到右上），截距$-k＜0$（直线与$y$轴交于负半轴）；当$k＜0$时，斜率为负（直线从左上到右下），截距$-k＞0$（直线与$y$轴交于正半轴）。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若$k＞0$：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图像在一、三象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率为正，直线上升，截距为负，直线与$y$轴交于负半轴，且过点$(1,0)$。
观察选项：A中一次函数截距为正，不符合；B中反比例在一、三象限，一次函数上升且截距为负，符合$k＞0$的情况。
② 若$k＜0$：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图像在二、四象限；
一次函数$y=kx-k$的斜率为负，直线下降，截距为正，直线与$y$轴交于正半轴。
观察选项：C中一次函数截距为负，不符合；D中反比例在一、三象限，不符合$k＜0$的情况。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图像、一次函数图像
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的图像性质，考查分类讨论思想，需根据$k$的正负分别分析两个函数的图像特征，再逐一排除错误选项，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决该问题，需利用“函数图像上的点满足对应函数解析式”的性质，先将点$P(m,n)$代入直线与双曲线的解析式，得到$m$、$n$的关系式，再通过完全平方公式变形，结合整体思想计算$m^2+n^2$的值，无需单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
1. 因为点$P(m,n)$在直线$y=-x+2$上，将点坐标代入直线解析式得：
$n=-m+2$，移项整理得：$m+n=2$；
2. 又因为点$P(m,n)$在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上，将点坐标代入双曲线解析式得：
$n=-\dfrac{1}{m}$，两边同乘$m(m≠0)$得：$mn=-1$；
3. 利用完全平方公式变形：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，将$m+n=2$、$mn=-1$代入得：
$m^2+n^2=2^2-2×(-1)=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数、反比例函数、完全平方公式
【点评】
本题结合函数图像上点的坐标特征，考查整体思想和完全平方公式的应用，通过整体代换简化计算，避免了复杂的求解过程，属于基础题型，需掌握函数与点的关系及公式变形技巧。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，需结合反比例函数的坐标特征和矩形的性质：先设点A的坐标，利用AD平行x轴得到点D的纵坐标，结合反比例函数求出点D的横坐标；再根据矩形AB垂直AD，得到点B的横坐标，结合反比例函数求出点B的纵坐标；最后计算矩形的长和宽，进而求出面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{6}{a})$（$a＞0$），
因为$AD// x$轴，所以点D的纵坐标与点A相同，为$\frac{6}{a}$。
点D在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$上，代入得$\frac{6}{a}=\frac{2}{x_D}$，解得$x_D=\frac{a}{3}$，即$D(\frac{a}{3}, \frac{6}{a})$。
矩形中$AB⊥ AD$，故点B的横坐标与A相同为$a$，点B在$y=\frac{2}{x}$上，得$y_B=\frac{2}{a}$，即$B(a, \frac{2}{a})$。
矩形的长$AD = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$，宽$AB = \frac{6}{a} - \frac{2}{a} = \frac{4}{a}$，
面积$S = AD × AB = \frac{2a}{3} × \frac{4}{a} = \frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积计算
【点评】
本题通过设参数表示反比例函数上的点，利用矩形对边平行且垂直的性质推导边长，关键是利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的特点，消去参数得到面积，属于中等难度的数形结合题。
【难度系数】
0.5
【分析】
1. 第(1)问：同一反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积相等，据此列方程求解m；
2. 第(2)问：代入m的值得到A、B坐标，用待定系数法求反比例函数解析式，再通过列表、描点、连线画出图象；
3. 第(3)问：先求直线AB的解析式，找到直线与y轴的交点，将△AOB分割为两个小三角形，分别计算面积后求和。
【解析】
(1) 因为点A(m+2,2)、B(3,$\frac{m}{3}$)在同一个反比例函数图象上，根据反比例函数的性质，同一反比例函数上的点横纵坐标乘积相等，因此：
$2(m+2)=3×\frac{m}{3}$
化简得：$2m+4=m$，解得$m=-4$。
(2) 由(1)知$m=-4$，则$A(-2,2)$，$B(3,-\frac{4}{3})$。设反比例函数解析式为$y=\frac{n}{x}(n≠0)$，将A点坐标代入得：
$2=\frac{n}{-2}$，解得$n=-4$，故反比例函数为$y=-\frac{4}{x}$。
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | $1$ | $2$ | $4$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $\dots$ |
建立平面直角坐标系，描点、连线，画出函数图象。
(3) 设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将A、B坐标代入得：
$\begin{cases}-2k+b=2 \\3k+b=-\frac{4}{3}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3} \\b=\frac{2}{3}\end{cases}$，故直线AB解析式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$。
令$x=0$，得$y=\frac{2}{3}$，即直线AB与y轴交点$C(0,\frac{2}{3})$。
△AOB的面积为$S_{△AOC}+S_{△BOC}$：
$S_{△AOC}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|-2|=\frac{2}{3}$，$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×3=1$，
因此$S_{△AOB}=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $m=-4$；
(2) 反比例函数为$y=-\frac{4}{x}$，图象为；
(3) $\frac{5}{3}$
【知识点】
反比例函数性质，待定系数法，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的核心知识点，解题关键是利用反比例函数的坐标特征和分割法求三角形面积，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
【分析】
第(1)问，利用反比例函数上的点横纵坐标乘积相等，结合DC的长度（两点横坐标差），联立方程组求出m、n的值，再代入反比例函数解析式求k，得到解析式；第(2)问，假设存在点E，设其坐标为(a,0)，用割补法将△ABE的面积转化为梯形ABCD面积减去两个直角三角形面积，列出关于a的方程，解方程后判断a是否在线段DC的范围内，从而确定是否存在该点。
【解析】
(1) 因为点A(m,6)、B(n,1)在反比例函数图象上，所以横纵坐标乘积相等，即6m = n；又AD⊥x轴，BC⊥x轴，故D(m,0)，C(n,0)，DC长度为n - m=5。联立方程组：
$\begin{cases}6m = n \\ n - m =5\end{cases}$
将n=6m代入n - m=5，得5m=5，解得m=1，n=6×1=6。因此A(1,6)，B(6,1)。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将A(1,6)代入得6=$\frac{k}{1}$，解得k=6，故反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 存在。由(1)知D(1,0)，C(6,0)，设E(a,0)（1≤a≤6）。
梯形ABCD的面积：$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(AD + BC)×DC=\frac{1}{2}(6+1)×5=\frac{35}{2}$；
△ADE的面积：$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×6×(a-1)$；
△BCE的面积：$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BC×CE=\frac{1}{2}×1×(6-a)$；
则$S_{△ABE}=S_{梯形ABCD}-S_{△ADE}-S_{△BCE}=\frac{35}{2}-\frac{1}{2}×6×(a-1)-\frac{1}{2}×1×(6-a)$，化简得$\frac{35}{2}-\frac{5}{2}a$。
令$S_{△ABE}=5$，则$\frac{35}{2}-\frac{5}{2}a=5$，解得a=5。因为1＜5＜6，所以E(5,0)在线段DC上，符合条件。
【答案】
(1) m=1，n=6，反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$；
(2) 存在，点E的坐标为(5,0)。
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数与几何面积，通过坐标转化线段长度，用割补法计算三角形面积，考查学生对反比例函数性质及几何运算的掌握，需验证解的合理性，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6
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