解：
$\because \sqrt{a-3} + b^2 + 4b + 4 = 0，$
$\therefore \sqrt{a-3} + (b+2)^2 = 0。$
$\therefore \begin{cases} a-3=0, \\ b+2=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=3, \\ b=-2. \end{cases}$
∴ 点$A$的坐标为$(3,-2)。$
∴ 点$A$关于原点$O$的对称点$A'$的坐标为$(-3,2)。$
解：
(1) 点$A$的坐标为$(1,1)，$点$B$的坐标为$(4,-1)，$点$C$的坐标为$(2,2)。$
(2) $\because AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}，$$BC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}，$
$\therefore AB = BC。$
$\therefore △ ABC$为等腰三角形。
(3) 分别作出点$A，$$B，$$C$关于原点的对称点$A'(-1,-1)，$$B'(-4,1)，$$C'(-2,-2)，$顺次连接三点，得到的$△ A'B'C'$即为所求。
解：
根据题意，依次计算得：
$P_1(2,0)，$$P_2(-2,2)，$$P_3(0,-2)，$$P_4(2,2)，$$P_5(-2,0)，$$P_6(0,0)。$
∴ 每6个点为一个循环周期。
∴ 点$P_7$的坐标与点$P_1$的坐标相同，为$(2,0)。$
$\because 2025 ÷ 6 = 337 \dots\dots 3，$
∴ 点$P_{2025}$的坐标与点$P_3$的坐标一致，即点$P_{2025}$的坐标为$(0,-2)。$
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标特征；第二步，根据第四象限内点的坐标符号，列出关于a的不等式组；第三步，解不等式组得到a的取值范围，再对应数轴表示选出正确选项。
【解析】
1. 求点P关于原点对称的点的坐标：
已知点$P(a-3,2-a)$，根据关于原点对称的点的坐标特征（点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$），可得其对称点坐标为$(3-a,a-2)$。
2. 根据第四象限的坐标条件列不等式组：
第四象限内的点满足横坐标大于0、纵坐标小于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}3 - a ＞ 0 \\ a - 2 ＜ 0\end{cases}$
3. 解不等式组：
解不等式$3 - a ＞ 0$，得$a ＜ 3$；
解不等式$a - 2 ＜ 0$，得$a ＜ 2$；
取两个不等式的公共解集，得$a ＜ 2$。
4. 对应数轴表示：$a ＜ 2$在数轴上表示为从2向左的射线，且2的位置是空心圆圈（不包含2），符合该特征的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；一元一次不等式组的解法；数轴表示不等式解集
【点评】
本题结合坐标对称、象限性质与不等式解集的数轴表示，考查数形结合思想的应用，需准确掌握各知识点的联系，按步骤推导即可解题。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需按以下思路推导：首先根据等腰直角三角形的性质确定点A的坐标，再通过待定系数法求出直线AB的解析式得到对称中心P的坐标，最后利用中心对称的性质（对称点连线被对称中心平分）计算点A'的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标
已知B(2,1)，C(6,1)，则BC的长度为$6-2=4$，且BC平行于x轴。
因为△ABC中$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，所以△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，其垂直平分线为$x=\frac{2+6}{2}=4$，斜边上的高为$\frac{BC}{2}=2$，且A在第一象限，故A点坐标为$(4,1+2)=(4,3)$。
2. 求直线AB的解析式，得P点坐标
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(4,3)、B(2,1)代入得：
$\begin{cases}4k + b = 3 \\2k + b =1 \end{cases}$
解得$k=1$，$b=-1$，即直线AB的解析式为$y=x-1$。
直线AB与y轴交于P，令$x=0$，得$y=-1$，故P点坐标为$(0,-1)$。
3. 求点A'的坐标
因为△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，所以P是线段AA'的中点。设$A'(x,y)$，根据中点坐标公式：
$\frac{4+x}{2}=0$，$\frac{3+y}{2}=-1$
解得$x=-4$，$y=-5$，即A'的坐标为$(-4,-5)$。
【答案】
$(-4,-5)$
【知识点】
等腰直角三角形性质；一次函数解析式；中心对称性质
【点评】
本题综合考查等腰直角三角形、一次函数及中心对称的相关知识，解题关键是先确定各关键点坐标，再利用中心对称的中点关系求解，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.4
【分析】
要解决这个问题，需分两步：首先利用非负数的性质求出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到A'的坐标。具体思路：1. 观察等式，根号和平方均为非负数，它们的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的值；2. 得到点A的坐标后，依据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”的规律，计算出A'的坐标。
【解析】
已知$\sqrt{a-3} + b^2 + 4b + 4 = 0$，先将式子变形为完全平方形式：
$\sqrt{a-3} + (b+2)^2 = 0$。
因为算术平方根$\sqrt{a-3} ≥ 0$，平方数$(b+2)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可得方程组：
$\begin{cases} a - 3 = 0 \\ b + 2 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 3 \\ b = -2 \end{cases}$，即点A的坐标为$(3, -2)$。
根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点的对称点为$(-x, -y)$，所以点A$(3,-2)$关于原点的对称点A'的坐标为$(-3, 2)$。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
非负数的性质、关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题是基础题型，综合考查非负数的性质和关于原点对称的点的坐标规律，需熟练掌握完全平方公式变形、非负数和为0的条件以及对称点的坐标特征。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，分三步思考：①确定点的坐标：根据平面直角坐标系中，点的横坐标是到y轴的水平距离，纵坐标是到x轴的垂直距离，结合网格边长为1，可直接读出A、B、C三点的坐标；②判断三角形形状：利用两点间距离公式计算△ABC三边长度，通过边长关系判定形状；③画关于原点对称的三角形：根据“点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$”的特征，求出A、B、C的对称点，依次连接得到所求三角形。
【解析】
(1) 根据平面直角坐标系中点的坐标定义，结合网格边长为1，可得：点$A$的坐标为$(1,1)$，点$B$的坐标为$(4,-1)$，点$C$的坐标为$(2,2)$。
(2) 利用两点间距离公式：对于两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，两点间距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，计算△ABC的边长：
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$，
$BC=\sqrt{(2-4)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$，
因此$AB=BC$，故△ABC为等腰三角形。
(3) 关于原点对称的点的坐标特征为：点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'(-x,-y)$，因此：
点$A(1,1)$的对称点$A'(-1,-1)$，点$B(4,-1)$的对称点$B'(-4,1)$，点$C(2,2)$的对称点$C'(-2,-2)$；
在平面直角坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接，得到△$A'B'C'$，即为所求。
【答案】
(1) $A(1,1)$，$B(4,-1)$，$C(2,2)$；
(2) △$ABC$是等腰三角形；
(3) △$A'B'C'$如图所示。
【知识点】
平面直角坐标系、两点间距离公式、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，包括点的坐标确定、两点间距离公式的运用、关于原点对称的点的坐标特征，以及三角形形状的判定，属于基础题型，熟练掌握相关知识点即可解答。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先明确：若两点关于点M(a,b)成中心对称，则点P(x,y)的对称点P'的坐标为(2a - x, 2b - y)。我们依次计算前几个点的坐标，找到坐标的循环规律，再根据规律求P₇和P₂₀₂₅的坐标。
【解析】
根据中心对称点的坐标公式，依次计算各点坐标：
1. 点O(0,0)关于A(1,0)的对称点P₁：
P₁的坐标为(2×1 - 0, 2×0 - 0) = (2, 0)；
2. 点P₁(2,0)关于B(0,1)的对称点P₂：
P₂的坐标为(2×0 - 2, 2×1 - 0) = (-2, 2)；
3. 点P₂(-2,2)关于C(-1,0)的对称点P₃：
P₃的坐标为(2×(-1) - (-2), 2×0 - 2) = (0, -2)；
4. 点P₃(0,-2)关于A(1,0)的对称点P₄：
P₄的坐标为(2×1 - 0, 2×0 - (-2)) = (2, 2)；
5. 点P₄(2,2)关于B(0,1)的对称点P₅：
P₅的坐标为(2×0 - 2, 2×1 - 2) = (-2, 0)；
6. 点P₅(-2,0)关于C(-1,0)的对称点P₆：
P₆的坐标为(2×(-1) - (-2), 2×0 - 0) = (0, 0)；
由此可知，点的坐标每6个为一个循环，周期为6。
求P₇：7÷6=1……1，余数为1，对应循环中第1个点P₁，故P₇的坐标为(2,0)；
求P₂₀₂₅：2025÷6=337……3，余数为3，对应循环中第3个点P₃，故P₂₀₂₅的坐标为(0,-2)。
【答案】
P₇的坐标为(2,0)，P₂₀₂₅的坐标为(0,-2)
【知识点】
中心对称的坐标特征；找规律（循环规律）
【点评】
本题通过中心对称的坐标变换计算点的坐标，关键在于计算前几个点的坐标后发现循环周期，利用周期规律简化大数的计算，考查学生的逻辑推理和坐标计算能力。
【难度系数】
0.5
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