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C
7 cm或23 cm
$\frac{9}{2}$
解：
(1) 分别作弦AB的两条不平行的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心O，保留作图痕迹即可。
(2) 连接OC交AB于点D，
$\because$ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore OC$垂直平分线段AB。
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=30\ \mathrm{m}。$
连接OA，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}，$
$\therefore OC=OA=r\ \mathrm{m}，$$\therefore OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{m}。$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$\because OD^2+AD^2=OA^2，$
$\therefore (r-10)^2+30^2=r^2，$
解得$r=50。$
$\therefore \overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为$50\ \mathrm{m}。$

解：连接PA，过点P作$PE⊥ AB，$$PF⊥ y$轴，垂足分别为E，F，延长FP，交函数$y=x$的图象于点M。
$\because P(3,a)，$$\therefore PF=3。$
由垂径定理，得$AE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}。$
由题意得$PA=3，$在$\mathrm{Rt}△ PAE$中，
$PE=\sqrt{PA^2-AE^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1。$
$\because ∠ FOA=45°，$$∠ PFO=90°，$$\therefore ∠ PME=45°。$
$\therefore EM=PE=1。$
在$\mathrm{Rt}△ PME$中，$PM=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}。$
$\because △ MFO$是等腰直角三角形，
$\therefore FO=FM=PF+PM=3+\sqrt{2}，$即$a=3+\sqrt{2}。$
【分析】
要计算AD的长度，首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB；接着通过三角形面积公式求出AB边上的高CE；再根据CA=CD，结合等腰三角形三线合一的性质，可知CE是AD的中线，即E为AD中点；最后在Rt△ACE中用勾股定理算出AE，进而得到AD=2AE。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5。
过点C作CE⊥AB于点E，
根据三角形面积公式：S△ABC = 1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × CE，
代入数值可得：1/2 × 3 × 4 = 1/2 ×5 × CE，
解得：CE = 12/5。
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AE = √(AC² - CE²) = √(3² - (12/5)²) = √(9 - 144/25) = √(81/25) = 9/5。
因为CA=CD，CE⊥AD，根据等腰三角形三线合一的性质，E是AD的中点，
所以AD = 2AE = 2 × 9/5 = 18/5。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，三角形面积公式
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，核心考查勾股定理、等腰三角形三线合一的性质，解题关键是构造AB边上的高，利用面积法求高，再结合等腰三角形性质计算AD长度，思路清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决圆中两条平行弦之间的距离问题，需先明确两条平行弦与圆心的位置关系有两种：在圆心的同侧、在圆心的两侧。解题时，先利用垂径定理求出弦到圆心的距离，再根据位置关系分类计算两弦间的距离，避免漏解。
【解析】
设圆心$O$到弦$AB$的距离为$d_1$，到弦$CD$的距离为$d_2$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$AB$的一半为$\frac{30}{2}=15\ \mathrm{cm}$，$CD$的一半为$\frac{16}{2}=8\ \mathrm{cm}$。
结合勾股定理计算弦到圆心的距离：
$d_1=\sqrt{17^2 -15^2}=\sqrt{289-225}=8\ \mathrm{cm}$，
$d_2=\sqrt{17^2 -8^2}=\sqrt{289-64}=15\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB$和$CD$在圆心$O$的同侧时，两弦之间的距离为$|d_2 -d_1|=15-8=7\ \mathrm{cm}$；
2. 当$AB$和$CD$在圆心$O$的两侧时，两弦之间的距离为$d_1 +d_2=8+15=23\ \mathrm{cm}$。
综上，$AB$和$CD$之间的距离为$7\ \mathrm{cm}$或$23\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7 cm或23 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题考查圆中平行弦距离的计算，核心是利用垂径定理和勾股定理，关键在于全面考虑弦与圆心的位置关系，避免漏解，属于基础几何题，需掌握分类讨论的解题方法。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决CD长的最大值问题，首先由CD⊥OC，可利用直角三角形勾股定理建立CD与半径OD、线段OC的关系；由于OD是圆的半径为定值，因此CD的长度由OC的长度决定，要使CD最大，需找到OC的最小值；而点C在弦AB上，根据“垂线段最短”，当OC⊥AB时，OC的长度最小，结合垂径定理即可求出CD的最大值。
【解析】
连接OD。
∵ CD⊥OC，
∴ △OCD是直角三角形，根据勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$。
∵ OD是⊙O的半径，为定值，
∴ 要使CD的长最大，需使OC的长最小。
∵ 点C在弦AB上，根据“垂线段最短”，当OC⊥AB时，OC的长度最小。
此时根据垂径定理，OC⊥AB时，C为AB的中点，即$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$，此时点D与点B重合，故CD长的最大值为$\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
勾股定理、垂径定理
【点评】
本题结合直角三角形勾股定理与垂径定理，通过转化CD的表达式，利用垂线段最短找到OC的最小值，进而求出CD的最大值，考查了圆的相关性质的综合应用。
【难度系数】
0.5
【分析】
第(1)问，要确定圆弧所在圆的圆心，依据“弦的垂直平分线经过圆心”，只需作弦AB与弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；第(2)问，利用垂径定理，弧中点与圆心的连线垂直平分弦AB，得到AD的长度，再结合勾股定理，设半径为未知数，建立方程求解。
【解析】
(1) 分别作弦AB和弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心O，作图痕迹保留（如参考图中所示的垂直平分线）。
(2) 连接OC交AB于点D，因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据垂径定理，OC垂直平分AB，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{m}$。连接OA，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OC=OA=r\ \mathrm{m}$。由题意知点C到AB的距离为10 m，即$CD=10\ \mathrm{m}$，因此$OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，根据勾股定理：$OD^2 + AD^2 = OA^2$，代入得：
$(r-10)^2 + 30^2 = r^2$
展开并化简方程：
$r^2 - 20r + 100 + 900 = r^2$
$-20r + 1000 = 0$
解得$r=50$。
【答案】
(1) 作图痕迹如参考图；(2) 50 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的圆心确定
【点评】
本题为教材变式题，考查圆的基本性质及垂径定理的应用，通过勾股定理建立方程求解半径，解题思路清晰，步骤明确，属于中等难度的基础应用题，需熟练掌握垂径定理的内容及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需结合垂径定理、勾股定理及直线$y=x$的几何性质。首先过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦的一半长度；再在直角三角形中用勾股定理求出弦心距；接着根据直线$y=x$的倾斜角为$45°$，构造等腰直角三角形求出相关线段长度；最后结合圆心到$y$轴的距离，即可求出$a$的值。
【解析】
连接$PA$，过点$P$作$PE ⊥ AB$于$E$，$PF ⊥ y$轴于$F$，延长$FP$交直线$y=x$于点$M$。
已知圆心$P(3,a)$，则$PF=3$。
由垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
因为$PA$是$\odot P$的半径，所以$PA=3$。在$\mathrm{Rt}△ PAE$中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{PA^2 - AE^2}=\sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{9 - 8}=1$。
直线$y=x$的倾斜角为$45°$，故$∠ PME=45°$，又$PE ⊥ AB$，所以$△ PEM$是等腰直角三角形，得$EM=PE=1$，则$PM=\sqrt{PE^2 + EM^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
因为$△ MFO$是等腰直角三角形，所以$FO=FM$，而$FM=PF + PM=3 + \sqrt{2}$，即$a=3 + \sqrt{2}$。
【答案】
$3+\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；一次函数性质
【点评】
本题综合考查圆的垂径定理、勾股定理及一次函数的几何特征，需要合理构造辅助线，将问题转化为直角三角形的计算，是一道综合性较强的中档题。
【难度系数】
0.5
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